Komplet løsning, Homogene ligning

Prøv at skriv den op.

Nåe, men det er mere sådan generelt.

Hvis man skulle redegøre for den komplette løsning til den homogene ligning, hvordan skulle det så lyde.

altså noget med:

Hvad gør den (den egenskaber)

Hvordan finder man den

Osv. ;)

den komplette løsning af til en andenordens homogen differentialligning med reelle koefficienter

                                    a·y '' + b·y ' + c·y = 0

man bemærker,
at hvis r er en rod
gælder
                                    y = e^r·x

                                    y ' = r·e^r·x     og    y '' = r²·e^r·x

dvs
                                   (ar² + br + c)e^r·x = 0               hvor   e^r·x>0
dvs

                                   ar² + br + c = 0         (den karakteristiske ligning)

Prøv alligevel at skriv en sådan differentialligning op så vi er enige om notationen, om koefficienterne er konstante osv.

jeg ved ikk om den er for svær men:

x''(t)+6x'(t)+5x(t)=20t²+48t+13 ?

Den differentialligning er ikke homogen. Udtrykket på højre siden er jo kun 0, hvis t er rod i polynomiet.

Men ellers løses en homogen differentalligning, som mathon skriver, altså hvis:

a x''(t) + b x'(t) + c x(t) = 0,

så skal du løse ligningen a r²+b r + c = 0, og sætte de fundne værdier af r=(r₁,r₂) ind i:

x⁽ⁿ⁾(t) =rⁿ e^{r t},

hvor (n) angiver hvor mange gange der differentieres.  

Sorry, det mig der sover :)
- men jeg tror jeg har forstået det nu, tak for det ;)