Matematik
Fermats lille sætning
Hej :)
Er der nogle der kan hjælpe mig med at forklare fermats lille sætning og beviset til ?
Fermats lille sætning
Sætning: Lad p være et primtal. For ethvert helt tal a, som ikke er et multiplum af p, gælder at a^p-1 ≡ 1 (mod p)
eller udtrykt ved restklasser modulo p
[a^]p-1 = [1] i Zp
Bevis:
Et komplet sæt af rester forskellige fra O udgøres af
1,2, … , p-1
Multiplicerer vi elementerne i (8) med a fås et andet komplet sæt af rester forskellige fra 0 (se korollar 27)
a*1, a*2, …, a*(p-1)
Rækkefølgen kan variere; men begge lister må indeholde samtlige p-1 ikke-nul restklasser. Derfor er produktet af elementerne i (8) det samme som produktet af elementerne i (9) modulo p:
1*2 … (p-1) ≡ (a*1)*(a*2) … (a*(p-1)) mod p ? (p-1)! ≡ ap-1 * (p-1)! mod p
Anvender vi endnu engang Korollar 27 til at forkorte (p-1)! Væk får vi
1 ≡ a^p-1 mod p
QED.
Svar #1
12. december 2011 af peter lind
Hvad er du i tvivl om ?. Den kan også bevises ved brug af induktion og binomialformlen, hvis du foretrækker det.
Svar #2
12. december 2011 af Chips11 (Slettet)
kan du forklare beviset sådan trin for trin med ord ??
Svar #3
12. december 2011 af peter lind
Jeg må have noget mere konkret at gå ud fra. Set for mig er det klart og tydeligt, så hvis jeg skal gøre mere ved det, må jeg have at vide hvad du ikke forstår.
Svar #4
14. december 2011 af Chips11 (Slettet)
ækkefølgen kan variere; men begge lister må indeholde samtlige p-1 ikke-nul restklasser. Derfor er produktet af elementerne i (8) det samme som produktet af elementerne i (9) modulo p:
fx dette her. HVorfor er produkterne af elementerne i 8 og 9 det samme bare fordi begge lister indeholder restklasser forskellig fra 0 ?
Svar #5
14. december 2011 af peter lind
Der findes p-1 forskellige elementer i begge mængder. For den oprindelige er det indlysende. Sådan er den lavet.
Forkortningsreglen gælder nå a ≠ 0, så hvis a*i = a*j må der gælde i =j. Hverken rækken eller a indeholder 0, så hvert enest element i a*i er forskellige og forskellige fra 0. Der findes præcist p-1 sådanne elementer, så hvert element må forekomme netop en gang.
Svar #6
14. december 2011 af Chips11 (Slettet)
ja forstår godt forkortningen, men hvorfor er (8) og (9) det samme ??
Svar #7
14. december 2011 af peter lind
Tag et simpelt eksempel med p=5, man har så elementerne 1, 2, 3 og 4. Nu ganger man dem med et eller andet a. dette giver 4 elementer a'1. a'2, a*3 og a*4. Disse elementer er alle forskellige og kan kun antage værdierne i mængden {1 2 3 og 4} Der er kun en måde du kan tage 4 forskellige elementer ud af den mængde nemlig ved at tage alle elementer ud en gang.
Skriv et svar til: Fermats lille sætning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.