Længden af cartesisk plan

ja

Okay men hvordan kommer jeg så videre i opgaven? hvordan finder man længden?

v(t) = (dx/dt, dy/dt)  l = ∫₀^2π|v(t)|dt

Jeg beklager virkelig, men har du mulighed for at uddybe? 

Du kan fortolke det som en partikel, der bevæger sig langs kurven, t er tiden og (x(t), y(t)) er der hvor partiklen er til tiden t,. v(t) er så hastigheden af partiklen og integralet i #3 angiver så tilbagelagt vej

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal finde v(t) 

okay det er måske mig der forvirre mig selv, da det du siger kan være ækvivalent med det opgaven forventer vi skal gøre nemlig:

"skriv først r(t) := 1 + cos t for at undgå alt for mange forvirrende sin og cos udtryk. Slå funktionen g : R² → R² som transformerer polære koor- dinater til kartesiske koordinater op. Find tangent vektoren (D(g o f ))(t) af kurven i t (kartesiske koordinater), ved anvendelse af kæde-reglen. Find længden af vektoren (D(g o f))(t) som sædvanlig ved at tage kvadratroden af summen af kvadraterne af de to komponter. (Hvis du ikke ved hvorfor det er relevant, slå op, hvordan man bestemmer længden af en parametriseret kurve.) Denne beregning starter grimt, men kun (r(t))² og (r(t))² “overlever” under kvadratroden. Brug nu, at r(t) = 1+cost. Hvis alt gik fint, skal du nu integrere sqrt(2(1+cost) for at finde længden."

kan du følge mig? jeg bliver forvirret af at jeg skal "finde" en funtion g og derefter benytte kædereglen til et eller andet.

hvordan tolker du opgaven, peter lind?

t ∈ [0 ; 2π]  :        f :           (x ; y)  =  (1 + cos t  ;  t)   ⇔

                                           (x ; y) =   (1 ; 0) + (cos t  ;  t)

                                           Det ses, at f  er den omvendte funktion til    y  =  1 + cos x 

# 0 anden sidste linje:  nej, ikke det. Det fremstiller en cirkel med radius r.

#6

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal finde v(t)

Du differentierer din x og y koordinat hver for sig. v(t) = (vx(t), vy(t)),  se svar # 3. Længden findes ved hjælp af pythagoras.

Måske vil det hjælpe dig at tegne grafen - du kan finde en masse grafværktøjer online, der kan tegne polært.

Det er egentlig nogenlunde det jeg gør. Det jeg kalder v(t) er det opgaven kalder tangentvektoren.  Det opgaven kalder længden af vektoren er det jeg kalder |v(t)|.  Overgangen til kartesiske koordinater er x = r(t)*cos(t)  y = r(t)* sin(t). Når der står nenyttelse af kædereglen er det formodentlig fordi der indsættes en ekstra variabel vinklen θ = t

dvs. rcos(t) og rsin(t) skal differentieres ift t, efter det er vores polære coordinater? 

#8 Du tolker det som f(t) er angivet i catesiske koordinater. I #0 står der at det er i polære koordinater

#11

dvs. rcos(t) og rsin(t) skal differentieres ift t, efter det er vores polære coordinater?

Du med r cos(t) og r sin(t) har du nogle kartesiske koordinater, som afhænger af en parameter t, som også svarer til din vinkel i de polære koordinater. Og ja, det der t du skal differentiere med hensyn til.

Hvordan kan Jeg skrive koordinaterne fra polære til kartesiske, for at udtrykke g? 

Hvad var det lige g var?

Du har (x,y) = ((1+cos(t))*cos(t),(1+cos(t))*sin(t))

v(t)=(vx,vy)=(dx/dt,dy/dt)

Længden af v(t) findes og integreres for alle t, og så burde du have din længde.

I polære koordinater, hvor r = r(t) og t er argumentet, kan man benytte udtrykket for buelængden mellem t₁ og t₂:

s(t₁;t₂) = _t1∫^t2 √( (dr/dt)² + r(t)² ) dt

             = _t1∫^t2 √( sin(t)² + 1 + cos(t)² + 2cos(t) ) dt

             = _t1∫^t2 √( 2·(1 + cos(t)) ) dt

             = 2 · _t1∫^t2 |cos(t/2)| dt

#16

så dr/dt er det samme som dx/dt+dy/dt ?

og hvor kommer vi overhovedet til at bruge de cartesiske koordinater ?

undskyld det kan også bare være mig der overser noget :/

Du skal ikke undskylde :-)

Men nej, dr/dt er ikke det samme som summen dx/dt+dy/dt.

Det du skal huske er, at alt har to koordinater. Enten en radius og en vinkel, eller en x og en y koordinat.

Det gælder også for den afledede v(t).

Hvordan er det lige grafen kommer til at se ud er det bare y=1+cos(x) halvcirkel?

#19

Det er grafen for den omvendte funktion til

x = 1 + cos(y) , altså

y = cos^-1(x-1) ,

hvor x og y tilhører passende intervaller.