Haster maksimum og minimum værdier

Funktionen er indskrænket til skæringspunkterne mellem cylinderen y² + z² = 2 og planen x -z = 0 . For disse punkter gælder der åbenbart

f(x,y,z) = x + y²z = x + (2-x²)·x

jeg er med såvidt hvordan kommer jeg så videre så jeg kan bestemme maksimum og minimum

#2

Find min og max for funktionen x + (2-x²)·x på intervallet [-2;2] .

hvis z=x kan man vel blot indsætte z på x's plads i lgningen, så man har f (x,y,z) = z + y²z

Da y² = 2 - z² , får man  f(y,z) = z + (2-z²)*z  =   - z^3 + 3z 

Denne har ingen minimum og maksimum, ligesom cylinderen og planen ovenfor har uendelig mange skæringspunkter.

#4

Læs #3.

lyder plausibelt. og hvor får du [-2;2] fra? cylinderens radius? 

#6

Ja, punkterne skal jo ligge på cylinderen med radius 2 . Det sætter begrænsningen på x (eller z).

Vi har at gøre med en cylinder der snor sig om x-aksen. Dvs. cylinderens højde går i x-aksens retning.

Så x kan vel derfor ikke begrænses til [-2;2]?

spørgsmålet er mere hvilken formel der skal bruges

Prøv Lagranges metode for f(z,y) = z(1+y²⁾          og S = ((z,y)l  y²+z² =2)

Man skal optimere en mængde S.

L(z,y,lambda)  =  z(1+y^2) + lambda*(y^2+z^2-2)

1+y^2 + lambda*z*2  = 0

2*y*(z+lambda)  =   0

løses som 2 lign med 2 ubekendte.  giver y^2  = z^3 - 1

indsat i cylinderligningen giver dette

z^3 - 1 + z^2    - 2  =   0

z= 1,1746

y= +/- 0.7878

x= 1.1746 ?

der er altså globalt maksimum i punktet f(x,y,z) = (1.175, 0.788, 1.175), hvor funktionsværdien giver 1,90.

tror ikke det er sådan det skal løses jeg tror du skal finde en maksimum værdi og en minimum værdi

 Men Lagranges metode går netop ud på at finde et minimumspunkt. (deraf ordet optimering).

F.eks. hvornår er overfladen af en kasse på 32 m3 mindst.

I eksemplet i min bog er der også kun een løsning

Sorry min fejl....

Regnefejl..... den hedder selvfølgelig y^2 = 2z^2 - 1

som så giver z = -1   ELLER  z= 1

y^2= 1

y= -1 eller y = 1

x = z

Godt du undrede dig :)

Jeg tror det er punkterne der ønskes som svar, altså (-1,1,-1) og (1,1,1), men hvis det også ønskes bliver  bliver funktionsværdien i disse ekstrema:   f(x,y,z) = -2     eller f(x,y,z) = 2    .... lidt pænere tal denne gang!

....og netop x= -1 og x= 1 er lokale toppunkter til mit første svar i svar #4.

#8

Vi har at gøre med en cylinder y² + z² = 2, der skæres af en plan x -z = 0 . Derfor er der begrænsninger [-2;2] på x.

Min og max for funktionen f(x,y,z) med disse bibetingelser skal derfor søges blandt værdierne

g(-2) , g(-1), g(1) og g(2) , hvor g(x) = x + (2-x²)·x = -x³ + 3x , dvs

g(-2) = 2 , g(-1) = -2 , g(1) = 2 , g(2) = -2

ja dit svar # 3 var alligevel rigtigt. Der skal dog stå [- kvadratrod2;kvadratrod2] og ikke [-2;2] ....da radius² = 2, og z² max er 2. Svar #7 var dog ikke rigtigt. Der skulle have stået at cylinderhøjden max er [-rod2;rod2], pga. at x=z.

Trods alt havde vi begge ret :)

#19

Ja, du har ret i, at cylinderens radius er √2 . Tak for rettelsen her.