separation af variable

det svarer til at skrive    2*x i stedet for 2x

Bare fjern gange tegnet.

Man skriver det

∫ v dt = s

Tak

Man skal fastslå, at dy/dx er som en funktion, og at de enkelte dele i symboler (dy, dx og brøkstregen) ikke er tillagt nogen selvstændige betydning. Derfor, skal man ikke opfatte det, som forholdet mellem to uendelig små størrelser.

Hvis vi ved, at ∫ dy/dx dx = ∫ dy = y + K, så med ord, at en funktion (dy/dx), der er ganget med dx, får man dy. Det er matematisk set forkert - men det vil alligevel passe rigtigt. Da f(x) = ∫ f'(x) dx , hvis omskrivning af f'(x) er dy/dx.

I dette tilfælde, behøver du ikke lege rundt med din opgave. 

Du har, at v = ds/dt

så kan man enkelt sige, at man integrere på begge sider med hensyn til t, fås

∫ v dt = ∫ ds/dt dt = ∫ ds                  (Husk, at   ∫ ds = ∫ 1 ds)

hvor "gange"-tegnet ikke er vist.

#4

"Hvis vi ved, at ∫ dy/dx dx = ∫ dy = y + K, så med ord, at en funktion (dy/dx), der er ganget med dx, får man dy. Det er matematisk set forkert - men det vil alligevel passe rigtigt. Da f(x) = ∫ f'(x) dx , hvis omskrivning af f'(x) er dy/dx."

Det er pga. kædereglen, at man kan tillade sig at opfatte differentialer som brøker. Jeg har aldrig set det forklaret på din måde før

#4 - problemet er, du kan IKKE sige at 

f(x) = ∫ f'(x) dx

Det er let at demonstrere. Betragt funktionen

f(x) = x + 3 

x + 3 = ∫ (x+3)' dx = ∫ 1 dx = x

x + 3 = x 

hvilket er falskt.

#5

Man har jo omskrevet den afledte funktion på rigtig mange måder. dy/dx kom fra Leibniz, hvor han kom med en nem metode til at udregne fx, (dy/dx) = (dm/dx) · (dy/dm)     <---- kædereglen. Det er ikke helt det samme som, jeg har forklaret i #4. Desuden kan man få denne regel til at udvide endnu mere, til fx

(dy/dx) = (dm/dx) · (du/dm) · (dy/du)

Forresten ... man skal aldrig opfatte det sådan ... det tager godt nok ±∞ år til at forstå det.

#6

De er jo det samme, hvis man ellers ser bort fra integrationskonstanten.

Du ønsker fx f(x) = 3x.

f(x) = ∫ f'(x) dx = ∫ 3 dx = 3x.

Eller, jeg kunne have sagt, at F(x) = ∫ f(x) dx

Yesme det du sagde i #4 var ikke rigtigt, hvilket FredeP også angiver. Det forklares med kædereglen, at differentialer skal opfattes som brøker. Jeg havde dog styr på det du fortæller i forvejen.

???????????????????????????????

Kan du sende mig et link, hvor man SKAL opfatte differentialer som brøker?

#7 - du kan ikke bare se bort fra integrationskonstanten. 

Når du integrerer f'(x)  , kan du IKKE udlede integrationskonstanten

Derfor er udsagnet

f(x) = ∫ f'(x) dx

ikke sandt, såfremt f(x) er en partikulær funktion.

#10

Det har jeg forstået, også derfor har jeg skrevet en anden form i sidste linje.

Hvor en stamfunktion af f(x), hvis integrationskonstanen er forsvundet efter man har differencieret med hensyn til x. Og når man integrere den afledte funktion af stamfunktionen med hensyn til x, vender integrationskonstanten tilbage, ergo

F(x) = ∫ f(x) dx

Er det bedre nu?

"Og når man integrere den afledte funktion af stamfunktionen med hensyn til x, vender integrationskonstanten tilbage,"

Det giver ikke mening...

Hvis du med "integrationskonstant" mener den konstant der forsvandt da du differencierede, så passer det jo ikke at den vender tilbage! Se #6.

Hvid du derimod mener den ubekendte konstant man lægger til for at angive en mængde af løsninger til stamfunktionen, hvordan kan den så "vende tilbage" når den aldrig har været tilstede? Og selvom det er den du mener, så har du ikke længere en funktion, men en mængde af løsninger til funktionen.

Udtrykket:

F(x) = ∫ f(x) dx

Er kun én af løsningerne til de uendelige mange løsninger for stamfunktionerne af f(x). 

Den fuldendte løsning er 

F(x) = ∫ f(x) dx + k

Integrationskonstanten er ikke underforstået som mange tror, men selvom at vi for diskussionens skyld sagde at den var. Så er det du siger stadig forkert.

-------

Ville så gerne lige slutte af med at sige.. Din metode er der intet i vejen med. Jeg havde gjort det samme.

Der er ikke nogen forskel i at sige 

∫ v dt = ∫ s'(t) dt +k

∫ v dt = s(t) + k

og så at sige:

∫ v dt = ∫  (ds/dt)  dt +k

∫ v dt = ∫ ds +k

∫ v dt = s(t) + k

Andet end at den sidste metode skal retfærdiggøres vha. bevis selvfølgelig.

#12 Mener du min metode?

#13 - nej

#12

Ok, du har ret. Er også dårlig til at formulere mig :P

#13

Hvor bliver henvisninger af????????

Forresten, jeg har snakket med matematiklærer om det her for sikkerheds skyld,

og han er helt enig med mig.

"Man skal fastslå, at dy/dx er som en funktion, og at de enkelte dele i symboler (dy, dx og brøkstregen) ikke er tillagt nogen selvstændige betydning. Derfor, skal man ikke opfatte det, som forholdet mellem to uendelig små størrelser."