Besten en ligning for en kugle

Benyt formlen for afstanden mellem et punkt og en plan til at finde radius.

Benyt at ligningen for en kugle kan skrives som

(x-xc)² + (y-yc)² + (z-zc)² = r²

Det ved jeg godt :)

Har skrevet

(x,y,z)
= (7,3,-2)+t *  (2,-1,-2)
= (2*t+7, 2-3, -2*t-2) 

Men så kan jeg ikke komme videre ...

Det er ikke så svært.

Du bruger vektor-analyse.

Planet a har normalvektoren u = <2,-1,-2>

Vi bestemmer derefter en vektor v fra punktet P, og siden vi kan antage x=z=0, så er y = -6.

Hvilket tillader os at bestemme v fra P.

v= <0,-6,0>-<7,3-2>= <-7, -3,2>

radiusen r, for kuglen svare så til projektionen af u på v.

hvilket betyder

r = ||-14+3-4)/|sqrt(2^2+(-1)^2+(-2)^2)|= |-15/3|=5

Hvilket giver os en kugle med centrum i (7,3,-2) og med radius 7.

(x-7)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=25

Bestem parameterfremstillingen for den linjen, der går gennem cirklens centrum C
og har planens normalvektor som retningsvektor.

Bestem herefter skæringspunktet P mellem denne linje og planen.

Bestem længden af vektoren CP, hvis planen skal være tangentplan for kuglen,
skal kuglens radius være lig med længden af vektor CP.

#3

Vi bestemmer derefter en vektor v fra punktet P, og siden vi kan antage x=z=0, så er y = -6.

Euroman28 -> hvordan antager du at x=z=0 så y= -6? ?

tager den lige en gang til fordi det ser ud til jeg lavede en fejl, radius er 3 og ikke 7, sorry.


Jo det er fordi jeg ser på situationen i 2D altså i x-z koordinat-system, og ønsker at finde vektorer v som går igennem punktet p, og ved at sætte x og z lig 0 i plan-ligningen så får jeg altså y=-6, idet

2*0-y-2*0-6=0 - > -y -6 = 0 - > y = -6

 

Planet a har normalvektoren u = <2,-1,-2>

Vi bestemmer derefter en vektor v fra punktet P, og siden vi kan antage x=z=0, så er y = -6.

Hvilket tillader os at bestemme v fra P.

v= <0,-6,0>-<7,3,-2>= <-7, -9,2>

radiusen r, for kuglen svare så til projektionen af u på v.

hvilket betyder

r = |(-14+9-4)/sqrt(2^2+(-1)^2+(-2)^2)|= |-9/3|=3



Hvilket giver os en kugle med centrum i (7,3,-2) og med radius r.

(x-7)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=9

sammenlign evt.sidste del
        med
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1192525

#6

Euroman28 -> det virker som om at man bare kan sætte P(7,3, -2) ind på kuglens ligning

(x-(+7))^2+(y-3)^2+(z-(-2))^2 = 3^2

og så self. beregne radius, som du gjorde. Så får jeg det samme som dig, uden at "bestemme vektor v fra punktet P, og siden vi kan antage ..." osv. - kan det passe, at man kan springe det led over?

Radius udregner jeg:

ι2*7+(-1)*3+(-2)*(-2)+(-6)ιsqrt(2^2+(-1)^2+(-2)^2) = 3

  "det virker som om at man bare kan sætte P(7,3, -2) ind på kuglens ligning"

(x-(+7))^2+(y-3)^2+(z-(-2))^2 = 3^2

du beregner jo P's afstand til  planen på den måde
og får dermed r = 3

og så har du jo både centrum P og r = 3
hvorfor
                 (x-7)² + (y-3)² + (z+2)² = 3²    er kuglens ligning