Er funktionen differentiabel?- konkrete eksempler

Brug eksempelvis tretrinsreglen på den lineære funktion. Resultatet er til at overskue.

okay så dvs.

f(x) = ax+b

Trin 1:

f(x0+Δx) = ax0+a(Δx)+b

Δf= f(x0+Δx)-f(x0) = (ax0+a(Δx)+b)-(ax0+b) =  ax0+a(Δx)+b-ax0-b = aΔx

Trin 2:

Δf/Δx = (aΔx)/Δx = a

Trin 3:

lad Δx gå mod 0. Da der intet Δx er i hældningskoeficcienten er f´(xo) = lim a = a.

At ax+b er differentiabel kan vel også ses grafisk idet enhver sekant mellem to punkter på grafen vil være sammenfaldende med et punkts tangent?...

Er det forstået korrekt?

Skal der evt. mere forklaring til hvorfor resultatet bliver lige præcis a, hældningskoefficienten?

Det er ikke helt korrekt. Men forståelse synes at være i orden. Bemærk at:

f(x0+Δx) = a(x0+Δx)+b

Hvilket af det er ikke korrekt?  :)

Jeg beklager, - jeg skimmede det kun hurtigt. Dine mellemregning er helt fine.

#2

Trin 3 skal måske raffineres lidt.

Man har fundet differenskvotienten Δf/Δx = (aΔx)/Δx = a , der ikke afhænger af Δx . Derfor eksisterer grænseværdien af differenskvotienten for Δx gående mod 0. Dette viser, at funktionen f er differentiabel i x₀ , og vi kalder denne grænseværdi for differentialkvotienten af f i x₀, eller f '(x₀) .

Okay mange tak til jer begge. Lige et sidste spørgsmål..

Hvordan med den mere grafiske/geometriske synvinkel? Hvordan kan man forsøge at formulere, at man allerede på forhånd kunne se, at en ret linje ax+b må være differentiabel? 

I min bog er differentiabilitet beskrevet ved "en funktion er differentiabel hvis den har en tangent i alle punkter" ville dette være argument nok for at en ret linje er  differentiabel?

Det er forklaret helt entydigt i #6

Okay, tak:) Jeg har hvad jeg skal bruge:)