Matematik
Sammensatte funktioner?
Jeg sidder med følgende funktion:
f(x,y) = g(h(y),h(h(x)),xy), og jeg skal bestemme alle første ordens partielle afledede af den.
Jeg er nået frem til, at Kædereglen (for sammensatte funktioner) er oplagt at bruge, men jeg kan ikke rigtig finde ud af at opstille nogle "rigtige" udtryk, idet de udtryk, jeg får, fortæller at jeg fx skal differentiere g mht. h.
Kan I hjælpe med dette? På forhånd tak
Svar #1
13. juni 2012 af peter lind
Hvis du bruger betegnelserne g(u, v, z) vil for den partielle afledede af x få af kædereglen
∂f/∂x = ∂g/∂u * ∂h/∂x + ∂g/∂v* h(h(x))' + ∂g/∂z*∂(x*y)/∂x
Prøv selv med y
Svar #2
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Jeg er lidt i tvivl men kommer det ikke næsten til at være på samme måde, altså således:
∂f/∂y = ∂g/∂u * ∂h/∂y + ∂g/∂v* h(h(x))' + ∂g/∂z*∂(x*y)/∂y
Eller er jeg helt galt på den?
Svar #3
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Eller jeg mener sådan her:
∂f/∂y=∂g/∂u*∂u/∂y+∂g/∂v* h(h(x))'+∂g/∂z*∂z/(∂(x*y))
Svar #4
13. juni 2012 af peter lind
Ingen af dem er helt rigtig; men der er kun en fejl i den første. Du skriver i det midterste led h(h(x))' Det skal være ∂h(h(x))/∂y = 0
Svar #5
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Hm, okay jeg har mest problemer med det der h. Skal jeg også skrive = 0, når jeg opskriver det?
og mht.z bliver det så:
∂f/∂z=∂g/∂u*h(y)+∂g/∂v* ∂h(h(x))/∂z'+∂g/∂z*h(x*y)?
Svar #6
13. juni 2012 af peter lind
Funktionen f er slet ikke afhængig af andet end x og y, så du skal heller ikke beregne den partielle afledede af andre variable
Svar #8
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Og jeg har opdaget min fejl mht. z, kom til at kigge på en anden lignende opgave.
Svar #9
13. juni 2012 af peter lind
h'et kommer ind fordi den indgår i definitionen af f(x,y). Med mine betegnelser i #1 vil du have u = h(y), v = h(h(x)), z=x*y
Svar #10
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Aha. Nu er jeg med, jeg har også de tre hjælpefunktioner som du angiver.
Det næste trin vil vel være at gå tilbage til den oprindelige funktion, eller hvordan?
Svar #11
13. juni 2012 af peter lind
Det ved jeg ikke rigtig, hvad du mener med. Du skal gøre den partielle afledede med hensyn til x færdig og du skal rette den partielle afledede med hensyn til y med mindre du har gjort det.
Svar #12
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Jeg har rettet den med y, men jeg troede egentlig bare den med x, var færdig?
Svar #14
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Så dvs. den partielle afledede af x bliver:
∂f/∂x = ∂g/∂v* h(h(x))' + ∂g/∂z*∂(x*y)/∂x
for y har vi:
∂f/∂y=∂g/∂u*du/dy+ ∂g/∂z*∂z/ ∂(x*y)
Svar #15
13. juni 2012 af peter lind
I den første skal du også finde ∂(x*y)/∂x
Det sidste led i den anden er forkert. Se hvad du selv har skrevet i #2
Svar #16
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Altså for y må vi så have:
∂f/∂y=∂g/∂u*∂u/∂y+ ∂g/∂z**∂(x*y)/∂y
Og hvad angår x hvor kommer ∂(x*y)/∂x til at være i udtrykket?
Svar #17
13. juni 2012 af peter lind
Du kan og skal gennemføre differentiationerne ∂(xy)/∂x og ∂(x*y)/∂y
Svar #18
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Ja, den ene giver mig x, mens den anden giver mig y, når de er differentieres.
Svar #20
13. juni 2012 af 92-majse (Slettet)
Ja selvfølgelig, det er er også det jeg mente :)
Skal de så indsættes i udtrykkede i stedet for: ∂(xy)/∂x og ∂(x*y)/∂y