Eksponentielle funktioner og vækst

Man benytter potensregneregler som

a^m+n = aⁿ · a^m ,

hvorfor

a^x+Δx = a^x · a^Δx

#0

For en eksponentielfunktion f(x) = b·a^x gælder, at hvis den uafhængige variabel x får tilvæksten Δx, bliver den afhængige variabel f(x) ganget med faktoren a^Δx.

f(x+Δx) =   b·a^x+Δx 
              =   b·a^x·a^Δx         (her anvendes, at a^m+n = a^m+aⁿ)
              =   a^Δx ·(b·a^x)   
              =   a^Δx ·f(x)


Det kan måske virke lidt fjernt, så lad os prøve med et eksempel på en opgave:

Opgave): En dyrebestand fordobles i antal på 9 år.

a) Bestem den årlige procentvise vækst.

Den uafhængige variable x gives en tilvækst, som i dette tilfælde er fordoblingskonstanten, dvs. T₂, hvilket medfører, at den afhængige variable y fordobles til 2y.
Hermed kan vi opstille en ligning:

a^T₂ = 2 ⇔ a⁹ = 2 ⇔ a = ⁹√(2) = 1,08

Den årlige tilvækst er 1,08.

I procent haves

(1,08-1)·100 % = 8 %

Dyrebestanden vokser altså med 8 % om året.

Du må sige til, hvis du ikke forstår det, så skal jeg prøve at forklare det på en anden måde. :-)

Jeg tror jeg har forstået det nu. :) Mange tak