Rumfang og integralregning

1. grundbetragtning:

tegn et koordinatsystem

         indtegn et kontinuert kurvestykke med ligningen y = f(x)

         vælg en vilkårlig x-værdi

         tegn linjestykket fra (x,0) til (x,f(x))

         når kurven drejes 360º om x-aksen bliver f(x) radius i en cirkel med arealet π·f(x)²
 

Vil det sige, at hvis jeg sætter x til at være 2, så er det en lineær funktion, som rammer x-aksen på 2 og y-aksen på to? Og når den drejes 360 grader, udgør den lineære funktion radius'en i cirklen? 

Hvis det er rigtigt, hvordan udregnes:    pi * f(x)² så? 

2. grundbetragtning:

         når der i stedet for selve den vilkårlige x-værdi ses på et snævert inteval Δx omkring
         den vilkårlige x-værdi, fås ved en 360ºs drejning om x-aksen en flad cylinderskive
         med fladeareal π·f(x)² og højde/tykkelse Δx.

         Cylinderskivens rumfang bliver derfor

                                          ΔV = π·f(x)²·Δx

3. grundbetragtning:

         når du ser på et interval [a,b] som fininddeles i en række underintervaller
         [x_i,x_i+1] af samme bredde Δx
         har du under almene betingelser
         for
                 Δx → 0
        det opsummerede rumfang V = ∑ΔV approksimerer sig til
        middelsummen

                                             V = _a∫^bπ·f(x)²dx  = π·_a∫^bf(x)²dx
                                               

@#2
                 nej det vil det ikke sige

      visualiser
      f.eks.
                          ved at sammenligne med en række mønter liggende i en "tut"

                         
                          ...sammenligningen halter derved, at radius (f(x_i)) ikke er variabel for mønterne