Brøkdele af lille cirkel i større cirkel

Der er givet en figur sammensat af 4 kongruente retvinklede trekanter med katetelængderne 1 og 2. I figuren er der indskrevet en cirkel, og der er også en omskrevet cirkel, og man skal finde forholdet mellem de to cirklers arealer. Det er klart, at trekanternes fælles punkt falder sammen med de to concentriske cirklers centrum. Den store cirkel har da radius 2, mens radius i den lille cirkel er lig med højdens længde i en af de retvinklede trekanter. For denne højde h gælder der, at

h·√(1²+2²) = 1·2 , så h = 2/√5 .

Forholdet mellem cirklernes arealer er derfor 1/5 .

Forstår godt den store trekant / omskrevende trekant, men forstår ikke hvordan du finder frem til den indskrevende cirkel... Kan du prøve at forklare det på en anden måde...? :D

Den indskrevende cirkel skulle i øvrigt gerne blive 0,8 jf. modeltegning jeg har lavet i AutoCAD

#2

Den indskrevne cirkel har centrum i vinkelspidsen for den rette vinkel i en af de retvinklede trekanter, og den har hypotenusen som tanget, hvorfor radius i den indskrevne cirkel er lig med højden i den retvinklede trekant. Du kan sikkert selv beregne

h = 2/√5 ≈ 0,894