Matematik

Differentialligning af 1. grad

22. august 2012 af cre (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg sidder og prøver at gennemskue beviset for lineære differentialligninger af 1. grad, men kan virkelig ikke se mig ud af et bestemt trin. Håber der er nogen, der kan forklare.

Når man har:

dy/dx-ay=b og efterfølgende ganger med e^-ax på begge sider

dvs. e^-ax·dy/dx-ay=b·e^-ax

Men dernæst bruger produktreglen på venstre side af lighedstegnet og får:

(y·e^-ax)'=dy/dx·e^-ax+y(-a)·e^-ax

Så kan jeg slet ikke gennemskue, hvordan ligningen kommer til at se sådan ud? Jeg ved godt, at produktreglen er differentiation af sammensatte funktioner.

Men hvordan kommer (y·e^-ax)' udfra trinnet e^-ax·dy/dx-ay?

Og hvor bliver b af i b·e^-ax da det efter produktreglen hedder dy/dx·e^-ax+y(-a)·e^-ax??

Jeg er helt lost. :(

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Først har man

e^-ax · (dy/dx - ay) = b·e^-ax

Ved at beregne

(y·e^-ax)' = (y)'·e^-ax + y·(e^-ax)' = (dy/dx)·e^-ax-a·y·e^-ax= (dy/dx - ay)·e^-ax ,

ser man, at differentialligningen så kan skrives

(y·e^-ax)' = b·e^-ax ,

og den kan så let integreres til

y·e^-ax = ∫ b·e^-ax dx = -(b/a)·e^-ax + k

Produktreglen drejer sig om at differentiere et produkt, ikke om sammensatte funktioner. Her er det produktet y·e^-ax , der differentieres.

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. august 2012 af peter lind

Det er ikke reglen om sammensatte funktioner, der bruges men differentiationen af et produkt. (f(x)*g(x)' = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) med f(x) = y og g(x) = e^-ax. Det giver (y*e^-ax)' = y'*e^-ax+ y*(e^-ax)' = y'*e^-ax + y*(-a*e^-ax)

Svar #3
22. august 2012 af cre (Slettet)

Ej tusind tak!!!

Så er der blevet lavet en fejl i vores emneopgave mht. til produktregel/sammensatte funktioner.

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Eller også er opgaven blevet misforstået.

Differentiation af produkt: (f(x) · g(x))' = f '(x) · g(x) + f(x) ·g'(x)

Differentiation af sammensat funktion: (f(g(x))' = f '(g(x)) · g'(x)

Svar #5
22. august 2012 af cre (Slettet)

Ja kan ikke helt svare på det, da jeg ikke har været med til at skrive netop denne emneopgave. Men nu er fejlen eller misforståelsen opdaget. :)

Skriv et svar til: Differentialligning af 1. grad

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.