Bevis af formler

har ikke gennemprøvet det, men var det ikke en ide, at anvende de tilsvarende additionsformler for cos og sin til bestemmelse af tangens,da der nødvendigvis må gælde at:

tan(v+u)=sin(v+u)/cos(v+u)

Som frodo korrekt foreslår, kunne vi passende tage udgangspunkt i de trigonometriske additionsformler:

sin(u+v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)
cos(u+v) = cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)

Vi skal vise tangensformlerne

(1) tan(u+v) = [tan(u) + tan(v)]/[1 - tan(u)*tan(v)]
(2) tan(2v) = 2tan(u)/[1 - tan(u)^2]

Lad mig gennemgå (1); det giver forhåbentlig en idé om, hvorledes man som udgangspunkt kan komme i gang med beviser for identiteter, hvor man praktisk talt 'blot' skal regne lidt.

ad (1)
I stedet for at gøre det umiddelbart oplagte: dividere helt bevidstløst (det virker, men er ikke helt så pænt; prøv det eventuelt bagefter) observerer vi dels, at

tan(u) + tan(v) =
sin(u)/cos(u) + sin(v)/cos(v) =
[sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)] =
sin(u+v)/[cos(u)cos(v)]

dels, at

1 - tan(u)tan(v) =
1 - sin(u)sin(v)/[cos(u)cos(v)] =
[cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)] =
cos(u+v)/[cos(u)cos(v)]

Dermed følger umiddelbart;

[tan(u) + tan(v)]/[1 - tan(u)tan(v)] =
sin(u+v)/cos(u+v) =
tan(u+v)

(bemærk: den fælles nævner 'cos(u)cos(v)' elimineres ved divisionen)

hvilket viser (1), og (2) går praktisk talt på samme muntre vis.

SUPPLERENDE BEMÆRKNING
For den utrænede kan det umiddelbart forekomme lidt klodset, at man som ovenfor i en vis forstand 'argumenterer baglæns'. Der er dog intet utilladeligt deri; faktisk er en sådan baglæns argumentation hyppigt anvendt, når man skal bevise konkrete formler. Man starter simpelthen ud med det ønskede (uden direkte at anvende det i beregningerne, forstås!) og søger derudfra at regne baglæns, indtil kendte resultater dukker op. Eftersom der er tale om identitetsudsagn (lighedsudsagn), er det jo reelt ligegyldigt, om man udleder højresiden af venstresiden eller omvendt, som det jo er tilfældet ovenfor.

Vink til (2):
Benyt først additionsformlerne (med u = v) til at udlede formler for sin(2u) og cos(2u).

//Epsilon

#2:
Hmm...i (2) skal v erstattes med u.

//Epsilon

Som en sidste indskudt bemærkning bør det nævnes, at man med en smule omtanke let kan indse, at (2) følger direkte af (1). Dette giver således et alternativ, som er langt at foretrække frem for først at udlede formler for dobbelt vinkel: sin(2u) og cos(2u). Men benyt nu alligevel begge metoder for træningens skyld.

Epsilon signing off for now...

//Epsilon

#4: "... let kan indse, at (2) følger direkte af (1)." Ja, det må man: u = v er jo alt der skal til.

Mange mange tak, Epsilon. Det er virkelig brugbart.
Har dog lige et spørgsmål:

Er cos(u)cos(v) = 1

Jeg kan se, at den indsættes i stedet for 1!!

#6: Det bruger han ikke; læs paranteserne rigtigt!

Så forstår jeg desværre ikke de to sidste linjer i denne her! :(

1 - tan(u)tan(v) =
1 - sin(u)sin(v)/[cos(u)cos(v)] =
[cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)] =
cos(u+v)/[cos(u)cos(v)]


Altså det er hele 1 - sin(u)sin(v) som skal divideres med [cos(u)cos(v)]?

Hvor bliver 1 af?

//En håbløs praktikant :)

1 - sin(u)sin(v)/[cos(u)cos(v)]
= 1 - [sin(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)]
= [cos(u)cos(v)]/[cos(u)cos(v)] - [sin(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)]

Nu har vi en fælles nævner, så ovenstående er også lig med

[cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)]/[cos(u)cos(v)]

Mange mange tak.. Forstår det godt nu :)

#10: Velbekomme.