Hyperbolske funktioner

Du kan se på for hvilken værdier af k ligningen cosh(x) = ½(e^x+e^-x) = k. har en løsning. sætter du y = e^x får du ligningen y+1/y =2k Ganger du den med y får du y²+1 = 2ky Dette er en almindelig anden gradsligning som kan studeres. Man skal lige være opmærksom på at løsningerne ikke må være negative.

sinh(x) = ½(e^x-e^-x) Se først på sagen for x≥ 0. Det vides at eksponentialfunktionen er monoton voksende og at e^-x er monoton aftagende. hvorfor sinh(x) må være monoton volsende. Du kan også vise at sinh(-x) = -sinh(x)

#1

Skal man redegøre for cosh(x) ≥ 1 ∀ x ∈ R ved udregning af 2. gradsligning? Jeg er godt klar over hvordan det skal løses, samtidig, at e^x skal være større end 0.

Jeg er enig med, at det er en ulige funktion mht. den hyperbolsk sinus. Men, er det korrekt forstået, at hvis man angiver de negative værdier (eller x > 0), vil det altid være aftagende?

#2

Man har, at

sinh(x) = (1/2)·e^x·(1 - e^-2x)

Løs ligningen sinh(x) = 0 ⇒ e^-2x = 1 ⇒ -2x = 0 ⇒ x = 0 .

Man ser let at sinh(-x) = -sinh(x) , og at for eksempel sinh(1) > 0 . Da sinh(x) er kontinuert, følger det, at

sinh(x) > 0 for x > 0 , og at sinh(x) < 0 for x < 0 .

Man ser også, at (cosh(x))' = sinh(x) . Funktionen cosh(x) er derfor monotont aftagende for x < 0, og monotont voksende for x > 0 , og man ser, at cosh(0) = 1 , hvorfor cosh(x) har globalt minimum 1 for x = 0. Altså må der gælde cosh(x) ≥ 1 for alle reelle x.

#3

Tak. Det er ret smart, at du forklarede om (cosh(x))' = sinh(x) for at gøre det mere tydeligt efter at forklaret om sinh(x). Men det er sådan en opgave jeg blev informeret til at ikke bruge differentiering, så jeg ved ikke om det er "tilladt" for mig at nævne det i besvarelsen.