Areal

Den originale opgave lyder:

I en have skal anlægges et blomsterbed, der har form som et cirkeludsnit (2/3 af en halvcirkel). Det oplyses at arealet af blomsterbedet som funktion af vinklen v (målt i radianer) er a(v):=((200*v)/((v+2)^(2)))

a) Bestem v så arealet af blomsterbedet bliver størst muligt.

Det drejer sig om at finde maksimum for funktionen

A(v) = 200v / (v+2)² , v > 0 ,

og det er jo allerede gjort i det vedlagte dokument. Man skal løse ligningen A'(v) = 0, dvs

A'(v) = (200·(v+2)² - 200v·2(v+2)) / (v+2)⁴ = (200·(v+2) - 400v) / (v+2)³ = 200·(2-v) / (v+2)³ ,

og man ser, at A'(v) = 0 , netop når tælleren er lig med 0, dvs for v = 2 . For v > 0 , er fortegnet for A'(v) bestemt ved fortegnet for 2-v , hvorfor A(v) har et maksimum for v = 2.