Matematik
Bevise h(x)=a*f(x)+b*g(x) - jeg er på bar bund.
Hej Studienet.
Jeg er i gang med en rapport om differentialregning, og har dertil fået et punkt der lyder således:
- Bevis sætningen for differentiationen af h(x)=a∗f(x)+b∗g(x)
Allerede her er jeg helt blank, dog fik jeg underviser til at føre mig på rette vej, og han har hjulpet mig igennem beviset. Men!
Min lærer lider af, at han er ekstrem gammeldags, så derfor sidder, ifølge ham, i hovedet på mig første gang, og han ville aldrig stille spørgsmålstegn ved sin egen undervisning, samtidig ville han heller aldrig omformulere sig..
Så derfor vil jeg gerne høre jer, Studienet's genier, om i vil tage et hurtig kig på beviset, og forklare trinvis hvad der sker? (Ikke løse opgaven for mig, men åbne mine øjne op! :))
1)
Δh=h(x0+k)−h(x0 )=a∗f(x0+k)+b∗g(x0+k)→
(a∗f(x_0 )+b∗g(x0 ))=a∗f(x0+k)+b∗g(x0+k)=
a∗f(x_0+k)−a∗f(x_0 )+b∗g(x_0+k)−b∗g(x_0 )=
a∗(f(x_0+k)−f(x_0 ))+b(g(x_0+k)−g(x_0 ))
=a∗Δf+b∗Δg
2)
Δh/k=(a∗Δf+b∗Δg)/k=a∗Δf/k+b∗Δg/k
3)
Og her skal jeg se om Δh/k går mod et tal når k -> 0
Δh/k→a∗f^′ (x_0 )+b∗g^′ (x_0 )−altså h′ (x_0 )=a∗f^′ (x_0 )+b∗g^′ (x_0 )
Min efterspørgsel er ikke, at i skal sidde og nærmest besvare min opgave ved at smide ordene i min mund, men gerne lige tilføje en kommentar, til hvad der bliver udført i beviset ovenstående.
Som i sikkert kan se, er det udført med tretrinsreglen, og den forstår jeg godt at anvende, jeg synes bare at det bliver kompliceret, når jeg kun er vant til at anvende tretrinsreglen på en enkelt funktion - altså f.eks. f(x)3
Man kan egentlig godt sige, at jeg spørger efter en second opinion - da jeg blot misforstår min lærer, og dette bevis er ikke at finde andre steder på nettet.
Tak på forhånd!
Svar #1
14. marts 2013 af peter lind
I 1) slutningen af førstre linje bør der stå =
I de følgende linje har du smidt alt om h(x0) væk men den dukker på mirakuløs vis op igen i de følgende linjer
Svar #2
14. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
#0
Til din orientering er dette Studieportalen, ikke Studienet.
Man anvender 3-trinsreglen på funktionen h(x), så man starter med at skrive udtrykket for differenskvotientn op for denne funktion, hvorefter man så benytter det mere detaljerede udtryk for h(x), udtrykt ved f(x) og g(x). Man får derved skrevet differenskvotienten for h(x) som en kombination af differenskvotienterne for f(x0 og g(x), og så udnytter man, at det er forudsat, at f(x) og g(x) er differentiable, hvorfor differenskvotienterne for f(x) og g(x) har grænseværdier for k gående mod 0.
Svar #3
14. marts 2013 af f4xe (Slettet)
#1
I 1) slutningen af førstre linje bør der stå =
I de følgende linje har du smidt alt om h(x0) væk men den dukker på mirakuløs vis op igen i de følgende linjer
Dette er et bevis min matematiklærer har udarbejdet for mig, så eventuelle fejl er ikke på mine skuldre, da jeg ikke aner hvordan han tonser igennem et bevis. Han er lidt hemmelighedsfuld.
Svar #4
14. marts 2013 af Andersen11 (Slettet)
#3
Pilen → i slutningen af 1. ligningslinie i #0 skal erstattes af et minustegn - .
Man har
Δh = h(x0+k) - h(x0) = [ a·f(x0+k) + b·g(x0+k) ] - [ a·f(x0) + b·g(x0) ]
= [ a·f(x0+k) - a·f(x0) ] + [ b·g(x0+k) - b·g(x0) ]
= a·[ f(x0+k) - f(x0) ] + b·[ g(x0+k) - g(x0) ]
= a·Δf + b·Δg ,
hvoraf man så får
Δh/k = a·Δf/k + b·Δg/k .
Da f(x) og g(x) er differentiable i x0, gælder der, at Δf/k → f '(x0) for k → 0, og at Δg/k → g'(x0) for k → 0 . Hermed ses, at
Δh/k → a·f '(x0) + b·g'(x0) for k → 0 ,
hvorfor h(x) er differentiabel i x0 med differentialkvotienten
h'(x0) = a·f '(x0) + b·g'(x0)
Skriv et svar til: Bevise h(x)=a*f(x)+b*g(x) - jeg er på bar bund.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.