Matematik

Et mærkelig resultat

13. april 2013 af la87 (Slettet)

Hej alle sammen!

Opgaven lyder:

En funktion f er bestemt ved:

f(x)=x+2sin(x) x tilhører [0,2pi]

Løs ligningen f `(x)=0 , og gør rede for monotoniforholdene for f .

Jeg gjorde præcis som der står derop men fik spyttet det her mærkelige resultat ud:

x=((2*(3*@11+1)*pi))/(3) eller x=((2*(3*@11-1)*pi))/(3)

Hvad betyder det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. april 2013 af Andersen11 (Slettet)

Man skal så løse ligningen

cos(x) = -(1/2) , dvs

x = 2·π/3 + 2π·p eller x = 4·π/3 + 2π·p , p ∈ Z

@11 står for et arbitrært heltal.

p = 0 giver de to løsninger i [0;2π] .

Læs manualen til din lommeregner.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. april 2013 af mathon

hvoraf
cos(x) = cos(2π - x) = -(1/2)

Svar #3
13. april 2013 af la87 (Slettet)

hmm, det forstod jeg ikke en pind af! :-(

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. april 2013 af mathon

    men med andre ord
                                           ved du måske
                                                                        at cos-funktionen er periodisk med perioden 2π
                                                                        så enhver løsning er på formen v_o + p•2π p∈Z
                                                                        men her er løsningsrestriktionen [0;2π]
                                                            og
                                                                        cos(x) = cos(2π - x)

Svar #5
13. april 2013 af la87 (Slettet)

Hmm, jeg kan bare ikke forstå det!

Hvorfor bliver p=0

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. april 2013 af mathon

fordi
v_o + p•2π ∈ [0;2π]

v_o₁ = cos^-1(-0,5) + p•2π = 2,0944 + p•2π v_o₂ = (2π - v_o₁) + p•2π = 4,1888 + p•2π

v_o1,v_o2 ∈ [0;2π] hvorfor p = 0

dvs
v_o₁ = 2,0944 og v_o₂ = 4,1888

Svar #7
13. april 2013 af la87 (Slettet)

Men hvorfor giver x=4pi/3

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. april 2013 af mathon

fordi
(2π/3) ≈ 2,0944

(4π/3) ≈ 4,1888

hvorfor de eksakte værdier
er
(2π/3) og (4π/3)

Svar #9
13. april 2013 af la87 (Slettet)

Jeg ved godt at (4π/3) ≈ 4,1888

Men når jeg løser coss^-1(-1/2) så får jeg udelukkende (2π/3) og ikke (4π/3). Det er derfor jeg spørger, hvor I får den fra?

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. april 2013 af Andersen11 (Slettet)

Din regnemaskine giver kun den værdi for cos^-1(x), der ligger mellem 0 og π . Du skal så udnytte din viden om funktionen cos() til at bestemme den anden løsning til ligningen i intervallet [0;2π]. Her benytter man, at

cos(x) = cos(-x) = cos(2π-x),

som anført i #2.

Derfor er løsningerne i intervallet [0;2π] til ligningen cos(x) = -1/2 da

x = cos^-1(-1/2) = 2π/3 og x = 2π - cos^-1(-1/2) = 2π - 2π/3 = 4π/3 .

Skriv et svar til: Et mærkelig resultat

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.