Bevis for Vm(ln) = R

          x → ln(x) er en abildning af R₊  på  R

"beviset" afhænger lidt af,
                               om I opfatter
                                                      • eksponentialfunktioner som inversfunktioner til logaritmefunktioner

                                                      • logaritmefunktioner som inversfunktioner til eksponentialfunktioner

                                               

Altså det jeg har er følgende:

Da den naturlige logaritme er differentiabel er den kontinueret og da den afledete funktion af ln er positiv er ln en voksende funktion: ln(x) → ∞ for x → ∞.

Man kan se at logaritmefunktionen kan antage vilkårligt store positive værdier ud fra:

ln(xⁿ) = ln(x*x*x ...*x) = ln(x) + ln(x) + ln(x) ... + ln(x) = n * ln(t)

Og for et vilkårligt stort positivt tal, k,  kan værdier af ln være større end k hvis n > k/(ln(x)).

Men ligeledes kan man se ud fra ln(1/x) = ln(1) - ln(x) = 0 - ln(x) = - ln(x), at værdimængden også må indeholde vilkårlige store negative værdier: ln(x) → -∞ for x → x^-1.

Altså, må værdimængden, et interval, være Vm(ln) = R.