acceleration og effekt - newtons love

Du kunne starte med at finde en sammenhæng (dvs. et funktionsudtryk) mellem tiden og positionen af legemet. Hastigheden til tiden t findes så som den 1. afledte mht. tiden, mens accelerationen findes som den 2. afledte mht. tiden. En formel for luftmodstandskoeff. finder du i enhver formelsamling. Den resulterende kraft findes af F_res=m*a. Effekten beregnes ud fra kraften.
Jeg kan ikke huske de nøjagtige sammenhænge (jeg har ikke nogen fysikbog i nærheden), men kig i din formelsamling og din lærebog.
Skriv endelig igen hvis du har yderliger spørgsmål.

Kanske dette er første gang du stifter bekendtskab med numerisk differentiation. Jeg vil derfor først ganske kort introducere dig til emnet.

Når en funktion er givet ved enkelte værdipar kan man ikke umiddelbart foretage differentiationer, idet funktionens forskift jo ikke kendes. Dertil må man først konvertere dataværdierne til en funktionsforskrift. Man benytter interpolation til at rekonstruere funktionen i punkter man ikke har data for. Vi indskrænker os her til at betragte lineær interpolation.

Har vi fået givet n datasæt (x_i,f(x_i)), 1=<i/>
f(x) ~= f(x_i)+(f(x_(i+1))-f(x_i))/(x_(i+1)-x_i)*(x-x_i)

Denne ligning udtrykker, at i intervallet I=[x_i,x_(i+1)] tilnærmer vi f(x) med denne lineære funktion. Men heraf ses

df(x)/dx ~= (f(x_(i+1))-f(x_i))/(x_(i+1)-x_i)

Bemærk at denne approksimation til den afledede af f(x) i intervallet I er konstant. Derfor kan vi specielt tilnærme f(x) i I med

df(x_(i+1))/dx = (f(x_(i+1))-f(x_i))/(x_(i+1)-x_i)

Nu til opgaven.

Man udnytter at givet strækningsfunktionen s(t), da er hastigheden v(t) = s'(t) og accelerationen a(t)=v'(t)=s''(t).

Lad os sige jeres målinger munder ud i n sæt af sammenhørende målinger

(t_i,x_i,y_i), 1 =

1. Hastigheden til tiden t_i bestemmes af udtrykket

v_i+1 = (s_(i+1) - s_i)/(t_(i+1) - t_i), 1 =

hvor s_i er den strækning det betragtede objekt har tilbagelagt til tiden t_i. For en generel, to-dimensional bevægelse er

s_i = sqrt( (x_i)^2 + (y_i)^2 )

2. Accelerationen til tiden t_i bestemmes på samme maner som hastigheden:

a_i = (v_(i+1) - v_i)/(t_(i+1) - t_i), 1 =

3. På gymnasieniveau regner man oftest med at luftmodstanden beskrives ved

Fluft = ½*rho*A*C*v^2 (**)

hvor A er et karakteristisk areal og C er luftmodstandskoeeficienten. Den er ikke sådan lige at regne sig til. Her må i selv søge information. Slå f.eks. op i et bilmagasin hvis det er en bil i har målt på.

4. Legemets acceleration fremtvinges af den på legemet resulterende kraft Fres. Det er netop dette Newton's 2. lov udtrykker

Fres = m*a

Såfremt i kender massen af de betragtede legem kan Fres bestemmes til de tidspunkter hvor i kender accelerationen (jvf. pkt 2).

5. Den resulterende kraft på legemet er summen af en i bevægelsen rettet fremdriftskraft og en mod bevægelse virkende luftmodstand

Fres = Ffrem-Fluft (***)

Efter at have bestemt C i pkt 3. kan i regne luftmodstanden Fluft ud til alle de tidspunktre hvor hastigheden kendes, jvf (**) i pkt. 3.

I pkt 4 har i bestemt Fres til de samme tidpunkter. Altså kender i nu qua (***) også Ffrem til disse tidspunkter.

Effekten af en kraft F, der virker på et legeme, der bevæger sig med farten v, er

P = Fv

I kan dermed beregne effekten af fremdriftskraften ved at udregne

P(t_i) = Ffrem(t_i)*v(t_i)

til de tider t_i hvor Ffrem og hastigheden v kendes.