Matematik
Problemet om konvergensen
Vis at ∑ln(n)x/n er uniform konvergent for x∈]-∞,p] hvis p < -1. Den tidligere opgave var om at vise ∑ln(n)p/n konvergerer hvis p < -1, og det er gjort.
Jeg mener man viser at den er uniform konvergent, hvis man benytter Weierstrass M-test. Men det ser ud til at jeg ikke kan gøre det på en korrekt måde. Den eneste tiing jeg ved, er at ln(n)x ≤ ln(n)p for hvert x ≤ p < -1. Jeg beder virkelig om hjælp til det.
Svar #1
21. maj 2013 af Anders521
hmm...
hvis p=1/2 : er | ln(n)x | ≤ M=ln(n)1/2 din sum så ikke uniform konvergent?
Svar #2
21. maj 2013 af peter lind
#1 p < -1 så tilfældet p=½ er irrelevant
Det følger jo direkte af Weierstrass M-test og ln(n)x ≤ ln(n)p så hvad er problemet ?
Svar #3
21. maj 2013 af lfdahl (Slettet)
Jeg mener, du kan benytte uligheden + Weierstrass´ M-test til at vise, at rækken ∑n≥1ln(n)x/n er uniformt konvergent,
når x ∈ ]-∞; p], hvor p < -1.
Idet, der gælder: ln(n)x ≤ ln(n)p for alle x: x ≤ p < -1, og idet heltallet n ≥ 1 fås:
ln(n)x/n ≤ ln(n)p/n, og |ln(n)x/n| ≤ ln(n)p/n.
Vælg derfor den positive talfølge: {Mn} med Mn = ln(n)p/n ≥ 0 for alle n ≥ 1.
Man har da betingelsen: |fn| ≤ Mn, for alle heltal n ≥ 1, hvor fn = ln(n)x/n
Jfr. dit oplæg, har du allerede vist, at rækken: ∑n≥1Mn konvergerer, d.v.s. ∑n≥1Mn < ∞.
Dermed er betingelserne for Weierstrass´ sætning opfyldt og der gælder da, at summen
∑n≥1fn = ∑n≥1ln(n)x/n er uniformt konvergent.
Skriv et svar til: Problemet om konvergensen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.