Matematik
åben mængde kont funktion
Lad os sige, at vi har en kontinuert funktion, der afbilder over i et eller andet interval: [0,1]
Vi vil gerne vise, at en mængde, som kan identificeres med f^(-1)( [0,1]) er åben. Det gøres ved at bruge at f er kontinuert. Vi ved da nemlig at urbilledet af en åben mængde af billedmængden er åben. Imidlertid kan man ikke gøre det for f^(-1)([0,1]), da den jo er lukket. Så jeg ser tit det trick, at man bare skriver f.eks. (-1,2) og så siger, at mængden også er urbilledet af denne mængde. Jeg kan godt se idéen, men for denne udvidelse ligger alle punkter jo ikke i billedmængden. Hvorfor virker det alligevel?
Svar #1
14. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)
Du formulerer dig ikke særlig præcist.
Der gælder følgende sætning om afbildninger mellem metriske rum X og Y:
En afbildning f: X |--> Y er kontinuert, hvis og kun hvis originalmængden f -1(G) af enhver åben delmængde G af Y er en åben delmængde af X.
Det følger heraf, af hvis f er kontinuert, er originalmængden af en åben delmængde af Y da en åben delmængde af X.
Svar #2
14. juni 2013 af aaaa202 (Slettet)
Jeg undskylder manglende præcision. Mit spørgsmål er: Hvis nu billedmængden er et afsluttet interval I i R. Vil det da gælde, at urbilledet af et åbent interval som helt indeholder I er en åben mængde i definitionsmængden, kan det identificeres med urbilledet af hele I, og hvorfor gælder dette?
Håber det er bedre
Svar #3
14. juni 2013 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det er ikke klart, hvad du spørger om. Hvis billedet af hvad er et afsluttet interval I ?
Da f er kontinuert, er originalmængden (som du kalder urbilledet) af et åbent interval selv en åben delmængde af definitionsmængden.
Skriv et svar til: åben mængde kont funktion
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.