Matematik
Vektorer og bevis for ikke-parallelle
Opgaven er som følger:
Opg. 2.016
I planen er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. For ethvert tal t er to punkter P og Q bestemt ved P(1 + t; t) og Q(2 - 3t; 4 - t)
For t = 1 udspænder vektorerne OP og OQ et parallelogram.
Bestem arealet af dette parallelogram
Bestem de tal t for hvilke OP er ortogonal med OQ
Gør rede for at OP og OQ ikke er parallelle for nogen værdi af tallet t
En vektor v har koordinatsættet (1; 2)
Bestem tallet t således at projektionen af OP på v er 2v
Jeg er nu gået i stå i delopgaven "Gør rede for at OP og OQ ikke er parallelle for nogen værdi af tallet t".
Jeg har for at vise dette brugt formlen 0 = det(OP,OQ) = |OP||OQ|sin(v) = sqrt((1+t)^2 + t^2) * sqrt((2-3t)^2 + (4-t)^2) * sin(81,9) = (8t^2 + 16t + 6)* sin(81,9)
men beklageligvis får jeg nogle nulpunkter til parablen (-0,5 & -1,5).
Jeg havde håbet på at parablen ikke havde nogle skæringer med x-aksen, så jeg kunne konkludere lidt på det, men det har den desværre.
Hvad skal jeg gøre?
Med venlig hilsen
Nicolai
Svar #1
03. november 2005 af Esmil (Slettet)
0 = det(OP,OQ) <=> OP og OQ er parallelle.
I dette tilfælde er det dog ikke smart at udregne det(OP,OQ) vha. af formlen
det(OP,OQ) = |OP||OQ|sin v,
hvor v er vinkelen mellem de to vektorer.
v afhænger jo også af t. Hvordan kan du vide, at vinkelen mellem de to vektorer er 81,9 grader for alle t?
Du skal derimod bruge, at for u = (a,b) og v = (c,d), er
det(u,v) = ad-bc.
Prøv nu at sætte OP og OQ ind i denne formel. Lur mig om du så ikke får en andengradsligning i t, som du kan vise ikke har nogen (reelle) rødder.
Svar #2
03. november 2005 af Trajkovski (Slettet)
Jeg havde helt glemt, at v selvfølgelig også var bestemt af t.
Jeg prøver lige dit forslag - tak for hjælpen!
Svar #3
03. november 2005 af Esmil (Slettet)
Ligninger har aldrig rødder.
Ligninger har løsninger, og polynomier har rødder.
Svar #4
03. november 2005 af Trajkovski (Slettet)
Nu er det så bare det næste og heldigvis sidste spørgsmål jeg sidder fast i.
Jeg får to forskellige værdier af t:
OP = (v * OP)/(|v|^2) * v = 2v = (2;4)
(2;4) = ((1;2)*(1+t;t))/(1^2+2^2) * (1;2) = (1+t;4t)/5
<=> 1/5 +t/5 = 2 og 4/5t = 4
<=> 1+t = 10 og t = 5
<=> t = 9 og t = 5
Dette synes jeg imidlertid er et højst uventet resultat!
Nogle gode idéer?
Skriv et svar til: Vektorer og bevis for ikke-parallelle
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.