løsning af simpel differentialligning metode!

Ligningerne kan løses ved separation af de variable. Den første burde ikke volde nogen problemer.

Vil bare have en fremgangsmåde. Men lad mig prøve med den første: 

Først separerer jeg variable: 

1/4y*dy = dt 

Derefter integrerer vi?

ln(1/4y)+k = t + k 

Nu prøver vi at isolerer y ved brug af regneregel

y = e^1/4+t 

?? Synes det er mægtig svært og langt, i forhold til at det skulle være den nemmeste?

#2

Man separerer

(1/y) dy = 4 dt

og integrerer

∫ (1/y) dy = ∫ 4 dt , dvs

ln(y) = 4t + k , eller

y(t) = c·e^4t .

Arh. Så det var en integrationsfejl jeg lavede! Men hvorfor ganger du med c? Og hvordan kan du f.eks. vise at y(t) er løsning til differentialligningen? 

Undskyld mine masse spørgsmål Andersen og tusind tak for din venlighed!

#4

Man efterviser, at y(t) er en løsning til differentialligningen ved at indsætte den i differentialligningen og kontrollere, at den er opfyldt (det kaldes at gøre prøve).

Højresiden går fra 4t + k til

e^4t+k = e^k · e^4t = c · e^4t ,

hvor man så betragter e^k som en anden arbitrær konstant c .

Okay, perfekt forklaret. 

Mangler bare at få forklaret en sidste ting. Hvad med når man møder sådan en differentialligning: 

dy/dt = 1+y  

Jeg har gjort sådan: 

-y-1*dy = dt 

∫(-y-1)=k 

-1/2y^2-1*k=k  Synes det virker meget forkert, fordi jeg heller ikke ved hvordan dy integreres?

#6

Nej, sådan kan man ikke gøre. Der er formelt tale om brøk

dy/dt = p

hvor man "ganger over kors". Man kan heller ikke bare smide differentialet væk under integraltegnet.

Man har

dy/dt = 1+y ,

hvoraf

(1/(1+y)) dy = dt ,

der så integreres til

ln(|1+y|) = t + k

og dermed

y = c·e^t - 1 .

Nu forstår jeg det. Mangler lige en sidste ting, det lover jeg, hvordan kommer du fra? 

(1/(1+y)) dy = dt

til 

ln(|1+y|) = t + k

Hvad blev der af dy? Og er de to streger mellem 1+y den nummeriske værdi?

#8

Man integrerer

∫ (1/(1+y)) dy = ∫ (1/(1+y)) d(1+y) = ln(|1+y|) + k

Ja, |a| betyder den absolutte værdi af a .