Matematik

Vis, at

03. december 2013 af MathiasJordan (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Vis at Σ(1/n⁶,n=1..∞)=Π^6/945

vi kender

fourierrækken: Σ((-1)ⁿ⁺¹/n³*sin(nt),n=1..∞)

funktion: f(t) =1/12*(Π²t-t³)

Jeg kan ikke se hvordan jeg skal vise det ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. december 2013 af Andersen11 (Slettet)

Man kan benytte sammenhængen mellem zetafunktionen og Bernouilli tallene:

ζ(2k) = ∑^∞_n=1 1/n^2k = π^2k · ( (-1)^k-1·2^2k-1/(2k)! ) · B_2k ,

så

∑^∞_n=1 1/n⁶ = ζ(6) = π⁶ · (2⁵/6!) · B₆ = π⁶ · 2⁵ / (6! · 42) = π⁶ / (3³·5·7) = π⁶ / 945 .

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. december 2013 af lfdahl (Slettet)

Du kan også benytte Parsevals identitet.

Iflg. dit oplæg er f(t) = (1/12)(π²t-t³), som har fourierkoefficienterne: a_n = (-1)ⁿ⁺¹/n³⇒|a_n|² = 1/n⁶.

Man får:

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)\right|^{2}dt=\frac{1}{144\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^{2}t-t^{3})^{2}dt$

$= \frac{1}{144\pi }\int_{-\pi }^{\pi}(\pi^{4}t^{2} - 2\pi^{2}t^{4}+t^{6})dt= \frac{1}{144\pi }\left [ \frac{1}{3}\pi^{4}t^{3}-\frac{2}{5}\pi^2t^{5}+ \frac{1}{7}t^{7} \right ]^{\pi }_{-\pi } \\ \\ =\frac{1}{144\pi }\left ( \frac{2}{3}\pi^{7}-\frac{4}{5}\pi ^{7}+\frac{2}{7}\pi ^{7} \right ) = \frac{1}{144\pi }\frac{16 \pi ^{7}}{105}= \frac{\pi ^{6}}{945}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2013 af lfdahl (Slettet)

Rettelse til #2 - og måske til #0:

Parsevals identitet udtrykkes egentlig:

$\sum_{-\infty}^{\infty}\left | a_{n} \right |^{2} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\left | a_{n} \right |^{2} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^{\pi}\left | f(t) \right |^{2}dt$

- heraf fås:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{6}} =\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi }^{\pi}\left | f(t) \right |^{2}dt$

- men det betyder enten, at koefficienten i udtrykket for f(t) burde være 1/6 og ikke 1/12,

eller at a_n = (-1)ⁿ⁺¹/(2n³).

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. december 2013 af lfdahl (Slettet)

En beregning af fourierkoefficienterne giver:

$a_{n} = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{12}\int_{-\pi}^{\pi}(\pi^{2}t - t^{3})e^{-int}dt = \frac{i}{2n^{3}}(-1)^{n}$

- så det var her fejlen lå.

Skriv et svar til: Vis, at

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.