Side 2 - Hjælp til at finde areal

*kom til at poste 2 gange*

#19

Det er velkendt folkeskolegeometri, at medianerne skærer hinanden i stykker, der forholder sig som 1:2.

Højden deler så den ligesidede trekant i to retvinklede 30-60-trekanter. Så er højden jo siden s ganget med (√3)/2 , dvs

3R = s·(√3)/2

Altså er det 2/√3 eller √3/2? Hvor får du s·(√3)/2 fra? Hvorfor kvadratroden af 3? Hvorfor dividere med 2? Og hvilken side er s - den halvde grundlinje eller hvad?

Undskyld, hvis jeg virker lidt dum... kan ikke lige følge din tankegang.

#23

I en retvinklet 30-60-trekant med hypotenuselængden s, er længden af den korte katete s/2 , mens længden af den lange katete er s·(√3)/2 . Bemærk: sin(30º) = 1/2 , cos(30º) = (√3)/2 .

Her er højden 3R den lange katete. Derfor gælder der, at

3R = s·(√3)/2

og dermed

s = 3R·2/√3 .

s er sidelængden i ligesidede trekant. s er derfor grundlinien i trekanten, og trekantens areal er da

T = (1/2)·3R·3R·2/√3 = 3·(√3)·R²

Okay, det gav lidt mere mening for mig. Hvordan i alverden kom du frem til, at cos(30º) = (√3)/2??

#25

Det er et tal, man bør kende. Man bør i hvert fald kende

sin(30º) = 1/2 ,

og så følger det jo af Pythagoras, at

cos(30º) = √(1 - (1/2)²) = (√3)/2 .

Okay, sin(30º) = 1/2 forstår jeg godt... Men hvor får du 1 og 1/2 fra i cosinus? Hvorfor tager du sinusværdien og propper ind i pythagoras for at nå frem til cosinusværdien..?

Føler godt nok, der er meget, jeg burde vide, haha. Men så er det jo godt, jeg lærer det nu.

#27

Du bør kende formlen

cos²(x) + sin²(x) = 1 .

Heraf følger, at

cos(30º) = √(1 - sin²(30º)) = √(1 - (1/2)²) = (√3)/2

Tjah, jeg har faktisk aldrig stiftet bekendtskab med den før, for at sige det lige ud. Jeg tjekker den lige ud på nettet, når jeg har forstået den, og vender tilbage (så du ikke skal blive ved med at forklare og forklare - mange tusind gange tak for hjælpen så langt, ville aldrig have nået så langt uden din hjælp)

Jeg forstår nu.

Får dog arealet af den store trekant forkert.

Jeg har først delt den store trekant op i tre dele og har udregnet den manglende side med cosinusrelationen (og sat de to andre sider til 65, fordi 50+15), og dén side fik jeg så til 112,58. Har så fundet højden i trekanten ved at dividere 112,58 med 2, hvilket giver 56,29. Har så brugt pythagoras til at finde højden (a^2=c^2-b^2) og fik det til en højde på 32,5.

Men når jeg siger 1/2*32,5*112,58 og så ganger med 3 for at få hele arealet af den store trekant, får jeg kun 5488, og det skal helst give noget nær 8000, sådan at når jeg trækker arealet af cirklerne+hjørnerne (der blev næsten 2000) bliver det samlede areal ca. 6000 som i facit.

Har fået at vide, at arealet af den store trekant skal være omkring 8000.

Bare glem det!! Jeg glemte bare de spidse hjørner... :-)

#30

Betragter man den ligesidede trekant, der har centrene for de tre små cirkler som vinkelspidser, ser man af denne trekants omskrevne cirkel, at cirklens radius r = 50 er lig med (2/3) af højden i den samme trekant, dvs hele højden i denne ligesidede trekant er h = (3/2)·50 = 75. Det fremgår også af tegningen, at den store blå trekants runde hjørner er cirkler med samme centrum som de tre små cirkler ved hjørnerne. Derfor er højden i den store blå ligesidede trekant da h + 2·R = 75 + 2·15 = 105 . Grundlinien (siden) i den store blå trekant er da

s = 105·2/√3

og arealet af den store blå ligesidede trekant (uden huller og afskårne runde hjørner) er da

T = (1/2)·105·105·2/√3 = 105²/√3 ≈ 6365,3

Arealet af de tre små cirkler er

A_små = 3·π·(15/2)²

Arealet af den store cirkel i centrum af flangen er

A_stor = π·(35/2)² ,

og arealet af de afrundede hjørner er (fra #1)

A_hjørner = (3·√3 - π)·15² .

Det samlede areal af flangen er så

A_flange = 105²/√3 - 3·π·(15/2)² - π·(35/2)² - (3·√3 - π)·15²

          = 9000/√3 - 250π

          ≈ 4410,754

Det er også det, jeg får (ca.). Desværre står der i facit, at svaret er 63,6 cm² :/??

Hmm, denne opgave er mig stadig et problem. Er der mon nogen, der kan nå frem til korrekt facit?

#34

De 63,6 cm² er arealet af den store blå ligesidede trekant (uden huller og afskårne runde hjørner) , se #32 .

Argh! Det må du virkelig undskylde. Pinligt.

Tusind tak for al din hjælp!!

Lige kort spørgsmål, hvordan kom du fra √(1 - (1/2)²) til (√3)/2 ?

#38

√(1 - (1/2)²) = √(1 - (1/4)) = √(3/4) = (√3)/2

Arh. Tak skal du have :-)