Side 4 - Hjælp til at finde areal

Okay... Og det er også bare almen viden, at den omskrevne cirkels radius i en ligesidet trekant er 2/3 af højden?

#61

Det er forklaret i #58. Da trekanten er ligesidet, falder centrene for den indskrevne og omskrevne cirkel sammen. Centrum er derfor medianernes og højdernes fælles skæringspunkt. Det gælder generelt (og bør være kendt fra folkeskolen), at medianernes skæringspunkt deler hver median i stykker, der forholder sig som 1:2 .

Jeg prøvede lige at tegne en ligesidet trekant med omskreven og indskreven radius..... nu forstår jeg :-)

Mange tak for din tålmodighed.... tror aldrig jeg har været så lang tid om en opgave før :o

Burde højden ikke være 3 * 15 + 75? Jeg mener fra centrum af en af hjørnecirklerne ud til spidsen af trekanten er der vel 2/3 af højden i den ligsidede trekant, de tre hjørnestykker tilsammen udgør... og så mangler man vel også stykket fra grundlinjen af den ligesidede trekant med spidserne i de tre cirklers centrum til grundlinjen er den store blå trekant, og den er vel også 15?

#64

Diskussionen drejede sig om højden i den trekant, hvis vinkelspidser hver er centrum i en af de små cirkler. Radius i den omskrevne cirkel er 50, og det er også (2/3) af højden i den samme trekant. Højden i den pågældende trekant er derfor (3/2)·50 = 75 .

Hvis du vælger at dreje diskussionen til et andet emne, ja, så vil resultatet blive et andet.

Svarene i #32 og #33 giver den samlede udledning.

Jeg er nået frem til, at højden i den trekant, hvis vinkelspidser hver er centrum i en af de små cirkler, er 75.

Jeg undrer mig over, hvorfor længden R=15 kun lægges til dén højde 2 gange og ikke 3 for at finde højden i den store, blå trekant.

#66

Ja, det har du da ret i, at højden i den store blå trekant bliver 75 + 3·R. Her kommer så den korrigerede udgave af #32:

Betragter man den ligesidede trekant, der har centrene for de tre små cirkler som vinkelspidser, ser man af denne trekants omskrevne cirkel, at cirklens radius r = 50 er lig med (2/3) af højden i den samme trekant, dvs hele højden i denne ligesidede trekant er h = (3/2)·50 = 75. Det fremgår også af tegningen, at den store blå trekants runde hjørner er cirkler med samme centrum som de tre små cirkler ved hjørnerne. Derfor er højden i den store blå ligesidede trekant da h + 3·R = 75 + 3·15 = 120 . Grundlinien (siden) i den store blå trekant er da

s = 120·2/√3

og arealet af den store blå ligesidede trekant (uden huller og afskårne runde hjørner) er da

T = (1/2)·120·120·2/√3 = 120²/√3 ≈ 8313,844

Svar #33 korrigeres så til

Arealet af de tre små cirkler er

A_små = 3·π·(15/2)²

Arealet af den store cirkel i centrum af flangen er

A_stor = π·(35/2)² ,

og arealet af de afrundede hjørner er (fra #1)

A_hjørner = (3·√3 - π)·15² .

Det samlede areal af flangen er så

A_flange = 120²/√3 - 3·π·(15/2)² - π·(35/2)² - (3·√3 - π)·15²

          = 12375/√3 - 250π

          ≈ 6359,311

Ja, så er vi vist enige :-)

Sikke en lettelse!

Efter 4 siders spørgsmål, forvirring og nye regneregler er jeg nu nået frem til et 100% præcis facit og har ud over det lært en masse ting, som jeg kan bruge fremover.

Jeg kan ikke takke dig nok for al den tålmodighed, du har udvist... jeg ville ønske, min egen matematiklærer var lige så villig til at hjælpe og lige så tålmodig og god til at forklare.

Mange gange tak.

#70

Velbekomme da. Jeg beklager selv, at jeg overså den ekstra radius R i højden.

Gør skam ikke noget, man kan også nemt overse noget på den skitse :-)