Find samtlige løsninger til differentialligningen

Benyt panserformlen, dvs. den generelle løsning til den inhomogene lineære differentialligning af 1. orden.

Ind til videre har jeg skrevet følgende:

Find samtlige løsninger til differentialligningen:

y'(t)+2y(t)=^-2t

Ved en lineær differentialligning af første orden forstås en differentialligning der kan skrives på

formen y’(t)+p(t)*y(t)=q(t), hvor p(t) og q(t) er funktioner af t.

Idet vi forudsætter, at funktionerne p og q er kontinuerte i et interval I, gælder følgende sætning (panserformlen):

y(t)=e^{-∫ p(t)dt} ∫ q(t)e^{∫ p(t)dt}dt+Ce^{-∫ p(t)dt}

hvor C er en vilkårlig (arbitrær) konstant.

Panserformlen er ret kompliceret, så vi foretrækker følgende omskrivning:

 Samtlige løsninger til den inhomogene differentialligningen y'+p(t)*y(t)=q(t) , er givet ved y(t)=y_p(t)+C*y_h(t) , hvor C er en vilkårlig (arbitrær) konstant

 y_h(t)=e-∫ ^p(t)dt er en løsning til den homogene differentialligning

 y^p(t)=y_h(t) ∫(q(t)/y_h(t)) dter en (partikulær) løsning til den inhomogene differentialligning,

Men er lidt i tvivl om hvor meget af det der er rigtigt, og hvordan jeg bruger det på min formel

#2

Indsæt i panserformlen med p(t) = 2, og q(t) = e^-2t . Så er ∫ p(t) dt = 2t , og den fuldstændige løsning er så

y(t) = e^-2t · (∫ e^2t·e^-2t dt + c)

      = e^-2t · (t + c)