Matematik

Manual integration, både partiel og substition

24. november 2005 af Windcape (Slettet)

Hejsa

Dette spørgsmål relatere lidt til
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=145035
Men kan læses uafhængigt.

Jeg skal have integret http://www.thedeathart.dk/upload/int1.png i hånden, dvs. alle udregninger manualet.

Jeg har prøvet i en 4 timer, og har også snakket med nogle, men jeg har virkelig brug for en trin-for-trin dummy-guide, da jeg seriøst ikke kan komme længere end at få den ned til denne her http://www.thedeathart.dk/upload/int2.png

Håber der er nogen der kan give et integration-for-dummys indlæg :)

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2005 af fixer (Slettet)

Det nemmeste er nok at anvende substitution.

Vi betragter det mere almene tilfælde

d
S[xlog(ax+b)]dx , a E R\\{0}, b E R
c

og indfører substitutionen

t = ax+b <=> x = (t-b)/a (1)

Herved føres integrationsgrænserne c og d over de nye integrationsgrænser

t_c = ac+b og t_d = ad+b

Endvidere haves at

t = ax+b => dt = adx (2)

Ved nu at indsætte (substituere) (1) og (2) i integralet fås

d
S[xlog(ax+b)]dx =
c

t2
S[(t-b)/a*log(t)]dt/a =
t1

t2
S[(t-b)/a²log(t)]dt (3)
t1

Af mnemotekniske årsager udelades i de følgende regninger integrationsgrænserne. Vi betragter altså nu det til (3) svarende ubestemte integral

S[(t-b)/a²log(t)]dt = 1/a²S[tlog(t)]dt-b/a²S[log(t)]dt (4)

og bestemmer nu ledvist de i (4) indgående integraler.

Først bestemmes

S[tlog(t)]dt (5)

ved partiel integration. Du må være bekendt med produktregelen for differentiation

(fg)' = f'g + fg'

Integration heraf giver

fg = S[f'g]dx + S[fg']dx <=>

S[f'g]dx = fg - S[fg']dx (6)

Denne regel anvendes nu på (5) idet vi sætter f'(t)=t og g(t)=log(t). Indsættelse i (6) giver så

S[tlog(t)]dt = ½t²log(t)-S[½t²/t]dt <=>

S[tlog(t)]dt = ½t²log(t)-½*½t² = ½t²(log(t)-½) (7)

Vi betragter slutteligt sidste led i (4)

S[log(t)]dt = S[1*log(t)]dt

og anvender igen partiel integration. Vi sætter f'(t)=1, g(t)=log(t) og får af (6)

S[1*log(t)]dt = tlog(t)-S[t/t]dt <=>

S[log(t)]dt = tlog(t)-t (8)

Med leddene bestemt findes ved indsættelse af (7) og (8) i (4)

S[(t-b)/a²log(t)]dt =

t²/(2a²)(log(t)-½)-b/a²(tlog(t)-t) (9)

ved udregning at værdien af det bestemte integral (3) skal man naturligvis benytte integrationsgrænserne t_c og t_d i (9).

Alternativt kan man i (9) substituere tilbage via (1), altså indsætte t=ax+b, og dernæst anvende de oprindelige integrationsgrænser c og d

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Ideen med partiel integration er nu ellers ganske udmærket.

For at undgå total forvirring holder jeg mig til samme notation som i #1, for så vidt angår partiel integration.

Sæt f'(x) = x, g(x) = ln(x-3/2).

Dermed fås, idet S[f'g]dx = fg - S[fg']dx, at

S[xln(x-3/2)]dx =

(1/2)x^2*ln(x-3/2) - (1/2)S[x^2/(x-3/2)]dx (*)

Det lader vi stå et øjeblik, mens vi udfører polynomiers division;

x^2/(x-3/2) = x + 3/2 + (9/4)/(x-3/2)

Dermed fås

S[x^2/(x-3/2)]dx =
S[x + 3/2 + (9/4)/(x-3/2)]dx =
(1/2)x^2 + (3/2)x + (9/4)ln(x-3/2) + k

som, indsat i (*), giver

S[xln(x-3/2)]dx =

{(1/2)x^2 - (9/8)}ln(x-3/2) - (1/4)x^2 - (3/4)x + C

for en arbitrær reel konstant, C. Den kan blot ignoreres ved bestemmelse af det bestemte integral; glem dog ikke frontfaktoren '2*pi'.

//Epsilon

Svar #3
24. november 2005 af Windcape (Slettet)

øhh...

Jeg fatter altså ikke dette her.
Jeg skulle gerne ende med en løsning som giver mig tallet 31,411

Men ligegyldigt hvad jeg gør, ender jeg stadig med kæmpe store underlige ligninger.

x skulle jo gerne forsvinde 100%... det kan godt være det først sker når man sætter ranges på, men hvordan det ??

Jeg ville jo enig bare gerne se hvoran man løser den :(

Ting som "for en arbitrær reel konstant" har jeg aldrig hørt en brik om. (Matematik A, HTX)

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Du ender naturligvis først med et reelt tal i det øjeblik, at du evaluerer det bestemte integral (indsætter grænserne).

I #2 er det gennemgået, hvorledes man bestemmer en vilkårlig stamfunktion til integranden 'xln(x-3/2)' ved partiel integration, dvs. hvorledes man bestemmer det ubestemte integral,

S[xln(x-3/2)]dx,

og hverken mere eller mindre.

En arbitrær reel konstant er såmænd intet andet end et fast, reelt tal, som kan vælges helt vilkårligt. Man angiver integrationskonstanten ved ubestemte integraler i overensstemmelse med, at et ubestemt integral netop betegner en vilkårlig stamfunktion til integranden.

Som bekendt er integrationskonstanten C derimod uden betydning, når man skal beregne bestemte integraler, idet dette jo involverer en differens mellem to værdier af en stamfunktion til integranden.

//Epsilon

Svar #5
24. november 2005 af Windcape (Slettet)

Og jo det er meget fint..

Men jeg kan stadigvæk ikke komme længere end her til:

http://www.thedeathart.dk/upload/omdrej_1.png

Kan ikke forstå hvad der skal ske derefter.

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#5:
Det er korrekt på nær det forhold, at du har glemt integrationskonstanten til sidst. Den må ikke udelades ved ubestemte integraler (cf. #4).

Resultatet fra #2,

S[xln(x-3/2)]dx =

{(1/2)x^2 - (9/8)}ln(x-3/2) - (1/4)x^2 - (3/4)x + C

er, foruden integrationskonstanten C, blot en lidt mere kompakt form af det resultat, du får i linket i #5. Det kan du sagtens indse efter at have multipliceret -1/2 ind på hvert led i den ydre parentes.

Indsæt grænser, som du plejer, og multiplicer resultatet med 2*pi.

Da jeg ikke kender de eksakte grænser, kan jeg ikke udtale mig om resultatet.

//Epsilon

Svar #7
24. november 2005 af Windcape (Slettet)

hmm, nu skal jeg lige se om jeg læser rigtigt.

Hvad skal {(1/2)x^2 - (9/8)} helt nøjatigt forståes som ? siden der bruges { }

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#7:
Tuborgklammerne er blot til for ikke at hæmme læseligheden. De rangerer ligeligt med sædvanlige parenteser, og udtrykket

{(1/2)x^2 - (9/8)}ln(x-3/2)

er således blot en mere kompakt form af det længere udtryk,

(1/2)x^2*ln(x-3/2) - (9/8)*ln(x-3/2).

//Epsilon

Svar #9
24. november 2005 af Windcape (Slettet)

okay.

Men hvad skal der gøres her ?

{(1/2)x^2 - (9/8)}ln(x-3/2) - (1/4)x^2 - (3/4)x + C

Jeg har ikke den fjerneste ide om hvad C gør godt for, og hvad næste skridt ville være..

Vi har aldrig lært om integrations konstanter.

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:
Det er så absolut en mangel.

Et ubestemt integral af en kontinuert funktion f,

S[f(x)]dx

betegner per definition en _vilkårlig_ stamfunktion til f.

Som det forhåbentlig ihukommes, er en stamfunktion ikke entydigt bestemt (medmindre der stilles yderligere krav ud over, at det skal være en stamfunktion). Enhver af funktionerne

F(x) + C

hvor F'(x) = f(x) og C en konstant (integrationskonstanten), er en stamfunktion til f.

Uden at gå i nærmere detaljer skal jeg bemærke, at man som bekendt ved hjælp af stamfunktioner kan beregne bestemte integraler derved at forstå, at hvis f er kontinuert i [a,b], og F er en af stamfunktionerne til f, så er

b
S[f(x)]dx = F(b) - F(a) (*)
a

Uanset hvilken stamfunktion (givet ved den arbitrære konstant C) til f, man vælger, er det tydeligt (cf. (*)), at C elimineres, når man evaluerer et bestemt integral.

Altså, et _bestemt_ integral (som returnerer et reelt tal) afhænger _ikke_ af, hvilken stamfunktion man benytter. I modsætning hertil betegner et _ubestemt_ integral per definition samtlige _stamfunktioner_ til f under ét.

Ved beregning af det konkrete, bestemte integral kan du derfor blot sætte C = 0, indsætte grænserne og slutteligt multiplicere med 2*pi.

Forresten hedder det 'manuel integration'; en 'manual' er noget ganske andet. :)

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#10:
Der skulle i indlægget have stået

'(...) og G er en af stamfunktionerne til f, så er

b
S[f(x)]dx = G(b) - G(a) (*)
a

netop for at undgå forvirring i forbindelse med F i 'F(x) + C' tidligere i indlægget.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #12
25. november 2005 af Epsilon (Slettet)

Nu er du vel ikke blevet totalt forvirret af de foregående indlæg?

//Epsilon

Svar #13
25. november 2005 af Windcape (Slettet)

Det er alt sammen meget godt, og mange tak for hjælpen..

Men for at være ærlig føler jeg mig enig bare mere forvirret.

Jeg ender med denne her store ligning, nu med en konstant (k) i også..

Og så kan jeg ikke rigtig finde ud af at komme længere..

Ranges er 2,5 -> 4.5 (afrundet).
Hvis jeg også kunne være et eksemple på hvordan de skulle indsættes ville jeg være lykkelig.

Brugbart svar (0)

Svar #14
25. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#13:
Vi sætter, som begrundet i #10, C = 0 og får, at funktionsværdien i den øvre grænse er

{(1/2)(4,5)^2 - (9/8)}ln(4,5-3/2) - (1/4)(4,5)^2 - (3/4)(4,5) =

9ln(3) - 135/16 ~

1,4500

Tilsvarende kan du indse, at funktionsværdien i den nedre grænse er

{(1/2)(2,5)^2 - (9/8)}ln(2,5-3/2) - (1/4)(2,5)^2 - (3/4)(2,5) =

-55/16

Dermed fås

4,5
(2*pi)S[xln(x-3/2)]dx =
2,5

(2*pi)(9ln(3) - 80/16) ~

30,709

Dette vil naturligvis være en tilnærmelse af den korrekte værdi, eftersom grænserne er afrundede tal. Det er anbefalelsesværdigt at benytte eksakte værdier for begge grænser, såfremt disse lader sig bestemme.

//Epsilon

Skriv et svar til: Manual integration, både partiel og substition

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.