korteste afstand mellem 2 funktioner

Det korrekte beskrivelse er vist afstanden mellem 2 punktmængder, men stadigvæk samme problem...

Og, det er vist slet ikke A-niveau, men meeeget højere, right ?

Jeg ved ikke om det kan hjælpe dig, men se fx. http://mathworld.wolfram.com/Distance.html.

Dette er en test:
Se [url=http://mathworld.wolfram.com/Distance.html]her[/url].

Jeg formoder der er tale om samme opgave som i disse tråde af Mikziel:

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=145084
https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=145035

Bemærk at opgaven blot går ud på præcist at angive en metode at bestemme den mindste godstykkelse, ikke rent faktisk at bestemme den præcist (analytisk).

Det er klart ved ren visuel inspektion at den mindste godstykkelse findes mellem cirkelbuen og grafen for funktionen g(x)=log(x-3/2), således som vist på din illustration.

Som du rigtigt har bemærket tillader symmetrien om y-aksen os at begrænse undersøgelsen til halvplanen x>0. Funktionsforskrifterne for de funktioner imellem hvis grafer den søgte minimumsgodstykkelse findes, er ganske rigtigt

f(x) = 4-sqrt(4-x^2), x E [0,2]
g(x) = log(x-3/2), x > 3/2

Lad nu P(x1,f(x1)) betegne et vilkårligt punkt på grafen for f og Q(x2,f(x2)) et vilkårligt punkt på grafen for g.

Den korteste afstand mellem P og Q må optræde når forbindelseslinien imellem dem står vinkeret på tangenten til grafen for f i P og tangenten til grafen for g i Q.

Heraf fås to kriterier der skal gælde for P og Q dersom afstanden imellem dem skal være den mindste godstykkelse

a) Tangenterne i P og Q skal være parallelle

b) Linien gennem P og Q skal være ortogonal på tangenterne i P og Q.

Kravet (a) fører til ligningen

I : 1/(x2-3/2) = x1/sqrt(4-x1^2)

Kravet (b) medfører at linien gennem P og Q skal have hældningen -(x2-3/2), thi den vil da være ortogonal på begge tangenter (se disses hældninger i I). Ligningen for denne linie bliver derfor

y = -(x2-3/2)(x-x2)+log(x2-3/2), x E R

hvor punktet Q er benyttet. Idet punktet Q også skal være indeholdt fås betingelsen

II : 4-sqrt(4-x1^2) = -(x2-3/2)(x1-x2)+log(x2-3/2)

I ligning II udnyttes at leddet sqrt(4-x1^2) via ligning I skrives som

sqrt(4-x1^2) = x1(x2-3/2)

som indsat i II giver

4-x1(x2-3/2) = -(x2-3/2)(x1-x2)+log(x2-3/2) <=>

4-x2(x2-3/2)=log(x2-3/2)

Numeriske metoder må bringes i anvendelse for at løse denne ligning. Til eksempel kan Newton's metode anvendes til nulpunktssøgning.

Med x2 bestemt kendes nu Q(x2,f(x2)) og x1 findes ved løsning af ligning I.

Korrektion (to steder):

Q(x2,f(x2)) -> Q(x2,g(x2))

hmm.

1. Hvordan kommer du frem til dette ?
--
Kravet (a) fører til ligningen

I : 1/(x2-3/2) = x1/sqrt(4-x1^2)
--

2. Snakkede med en som sagde at jeg jo kunne udtrykke afstanden som:

f(x) = ln(x-3/2)
(Afstand mellem Cirklens-centrum og f(x)) - (radius)

CirkelsCentrum: (0,4)

Og dette lyder jo også smart, men kan stadig ikke se en måde at udregne det på.

1. Udtrykker jo blot kravet om parallellitet ved at tangenthældningerne skal være ens.

2. Kan du argumentere for at forbindelseslinien mellem cirkelcentret og et vilkårligt punkt på grafen for f(x)=log(x-3/2) for et eller andet x vil bestemme den korteste afstand ?

Lad mig udløse spændingen i punkt 2 i #7.

Metoden i #6 punkt 2 er ækvivalent med #4, men savner argumentation. Du skal argumentere for at minimering af afstanden mellem C(0,4) og et vilkårligt punkt på P(x,f(x)) definerer den mindste godstykkelse.

Det vil jeg overlade til dig.

Med argumentet på plads forløber regningerne således.

Vi danner afstandsfunktionen

d(x) = d(C,f(x))^2 = x^2+(4-log(x-3/2))^2, x > 3/2

og søger minimumspunktet. Vi ledes derfor til at løse ligningen

d'(x) = 0 <=>

2x - 2(4-log(x-3/2))/(x-3/2) = 0 <=>

4-x(x-3/2) = log(x-3/2), x > 3/2

hvilken ligning er identisk med den i #4 udledte. Bemærk, at d(x) er afstanden mellem C og P. Den mindste afstand mellem cirkelbuen og P er derfor d-4.

Korrektion: Den mindste afstand er naturligvis sqrt(d)-2. d var jo den kvadrerede afstand mellem C og P, og iberegnet heri er radius med længden 2.