Matematik

beholder og rumfang

28. november 2005 af Stinnie (Slettet)

i en bestemt type beholder skal højden h være mindst 2 dm.
-gør rede for, at rumfanget V(dm^3) af en sådan beholder kan skrives som
V=5*pi*r^2-(1/3)*pi*r^3, o<=r<=3
hvordan vises det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

Altså det kommer da nu helt an på hvad det er for en type beholder, så det skal vi gerne have at vide. Er det for eksempel en kube med højde 2 dm, kan rumfanget i hvert fald ikke beskrives som du skriver.

Svar #2
28. november 2005 af Stinnie (Slettet)

den har form som en cylinder hvorpå der er placeret en halvkugle, hvor halvkuglen har samme radius som cylinderens overflade. selve beholderens højde skal være 5dm.

i en bestemt type beholder skal højden h være mindst 2 dm.
-gør rede for, at rumfanget V(dm^3) af en sådan beholder kan skrives som
V=5*pi*r^2-(1/3)*pi*r^3, o<=r<=3
hvordan vises det?

derefter bestem r som ligger i intervallet ]0;3], så beholderens rumfang bliver så stort som muligt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#2:
Okay, det hjalp på det. Da den samlede højde skal være 5 (jeg gider ikke at regne med enheder), har vi følgende:

5 = h_cylinder + h_halvkugle = h + r.

Altså er h = 5-r. Da h >= 2, og r > 0, må vi have, at

0 < r <= 5-2 = 3.

Nu skal vi have beregnet rumfanget af beholderen:

V_total(r)
= V_cylinder + V_halvkugle
= Pi*r^2*h + 1/2*4/3*Pi*r^3
= Pi*r^2*(5-r) + 2/3*Pi*r^3
= 5*Pi*r^2 - Pi*r^3 + 2/3*Pi*r^3
= 5*Pi*r^2 - 1/3*Pi*r^3.

For at bestemme den værdi af 0 < r <= 3, hvor V_total er størst, løser du ligningen

d[V_total(r)]/dr = 0

med hensyn til r. Vis så, at V_total(r) faktisk har globalt maksimum for denne r-værdi, ved at lave en fortegnsundersøgelse.

Svar #4
28. november 2005 af Stinnie (Slettet)

jeg forstår det første, men det sidste

For at bestemme den værdi af 0 < r <= 3, hvor V_total er størst, løser du ligningen

d[V_total(r)]/dr = 0

er jeg ikk helt med på hvordan den skal regnes ud:s

Svar #5
28. november 2005 af Stinnie (Slettet)

hvordan regner man det ud?

d[V_total(r)]/dr = 0

jeg forstår ikke dine benævnelser

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#5:
Skrivemåden

d[V_total(r)]/dr

er blot en anden for differentialkvotienten af V_total med hensyn til r; altså V_total'(r).

Svar #7
29. november 2005 af Stinnie (Slettet)

men jeg synes det ligger mig meget fjernt, hvordan det skal beregnes :S

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#7:
Ved du ikke _hvad_ du skal gøre eller _hvordan_ du skal gøre det? Du skal blot differentiere udtrykket for V_total, som er fundet i #3.

Svar #9
29. november 2005 af Stinnie (Slettet)

bare glem det sidste af mine spørgsmål har fundet ud af det :D
men mange tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. november 2005 af Dominik Hasek (Slettet)

#9:
Velbekomme.

Svar #11
29. november 2005 af Stinnie (Slettet)

jeg har dog et problem - mit resultat ligger uden for intervallet..
v´=10pi*r-pi*r^3
er det ikk sådan?

Svar #12
29. november 2005 af Stinnie (Slettet)

I need some help. kan ikk få det til at passe..

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. november 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:
Nej, volumenfunktionen var jo

V(r) = (5*pi)r^2 - (1/3)pi*r^3, 0 =< r =< 3,

og dermed haves

V'(r) = 10*pi*r - pi*r^2 = pi*r(10-r) (*)

Det ændrer dog ikke på det forhold, at løsningerne til V'(r) = 0 rigtignok ligger uden for ]0;3]. Det har sådan set heller ikke den store betydning her; vi er blot interesserede i fortegnsvariationen for V'(r) i ]0;3]. Og den bestemmes let af den faktoriserede form (*) ovenfor, thi

V'(r) > 0 <=> 0 < r < 10,

Heraf slutter vi, at V(r), r E ]0;3], er en (strengt) voksende funktion, og altså må maksimum antages for r = 3.

//Epsilon

Svar #14
30. november 2005 af Stinnie (Slettet)

mange tak for hjælpen Epsilon :)

Svar #15
30. november 2005 af Stinnie (Slettet)

Epsilon, har du ikke lyst til at hjælpe mig med det der hedder trekantsberegninger?

Skriv et svar til: beholder og rumfang

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.