funktion - monotoniforholdene

Tja, du glemmer parentesen om tælleren i f'(x). Vi har, at

f'(x) = (1 - ln(x))/x^2, x > 0

Men ellers er der intet galt; du skal såmænd blot løse ligningen

0 = 1 - ln(x).

I spørgsmål b) må vi bede om en præcisering af, hvordan

"elmx<= for alle>0"

nærmere bestemt skal opfattes.

//Epsilon

Nå, ja! Jeg prøver lige igen:
Til opgave a)
0 = 1-lnx <=> 1=lnx <=> x=e
så indsætter jeg et tal, som er mindre end e, hvoraf jeg ser, at resultatet er prsitivt. Gør det samme med et tal, som er større end e - resultatet er her negativt. Altså
f er voksende for xE)0;e)
f er aftagende for xE(e;uendelit(

Til at bestemme værdimængden bruger jeg, at f har lokalt maksimum for x=e og sætter denne ind i funktionsforskriften. Jeg får y_max til ca. 0,3679. Altså:
Vm(f) = )-uendelig; 0,3679)

Til opgave b: Håber på et hint :)
Hele opgaveteksten til opgave b lyder:
Gør rede for, at elnx<=x for alle x>0

//Sarah

#2:
Du skal lige respektere den gældende notation vedrørende intervaller. Således:

f er voksende i ]0;e]
f er aftagende i [e;infty[

Alternativt er (0;e] hhv. [e;infty) også korrekt; 'almindelige' parenteser er notationsmæssigt ligestillede med åbne intervalparenteser.

Men ellers er det korrekt, og grunden til, at det er tilstrækkeligt at udvælge et x E (0;e) hhv. x > e, er som bekendt, at f' er kontinuert i hele definitionsområdet og således kun kan ændre fortegn i nulpunktet.

Maksimum for f er eksakt lig 1/e.

For så vidt angår værdimængden, er du forhåbentlig klar over, at man ikke af monotoniforholdene alene kan slutte, at

V_f = ]-infty; 1/e] (*)

Du bør bemærke, at f er kontinuert, og du er nødt til at undersøge f i grænsen

x -> 0+

for at kunne ræsonnere, at billedmængden for f er som angivet i (*).

ad b)
Menes der, at man skal gøre rede for, at

e*ln(x) =< x for ethvert x > 0?

//Epsilon

At jeg anvendte 'almindelige' parenteser var det blot fordi, jeg ikke kunne finde de andre på tastaturet - ikke lige så ferm til computere.

Nå, men ang. b) så har jeg virkelig skrevet præcis, hvad der står i opgaven i #2, men jeg tror bestemt, at der menes det, som du (Epsilon) har skrevet i #3.

"Maksimum for f er eksakt lig 1/e" - Hvordan det? Jeg får maksimum til e

#4:
Nuvel, i b) skal du blot udnytte, hvad du ved om f fra første spørgsmål. Da følger det ønskede umiddelbart.

"Maksimum for f er eksakt lig 1/e - Hvordan det? Jeg får maksimum til e"

Nej, du mener vist, at maksimumsstedet (den værdi af x, som maksimerer f) er x = e. Maksimum for f (funktionsværdien i maksimumsstedet) er

f(e) = ln(e)/e = 1/e.

I #2 skrev du i øvrigt "ca. 0,3679", hvilket er korrekt.

//Epsilon

Okay, jeg er med nu :)

Jeg takker for hjælpen - så vil jeg lige prøve mig lidt frem med b´eren. Måske vender jeg tilbage..
Ha´ en god aften!