Matematik

lige stor mængde og delmængde diskussion

26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Hilberts Hotel illustrerer udsagnet om, at en mængde N med uendelig mange naturlige tal n har uendelig mange delmængder N1, N2 ... Nn med uendelig mange naturlige tal n1, n2 ... nn, og dermed er mægtigheden af de uendelig mange delmængder lige så stor som mægtigheden af mængden N.

Men hvordan kan det diskuteres?

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. januar 2006 af fixer (Slettet)

Det er nu din tredie tråd om samme emne, jvf. f.eks.

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=172303

En enkelt burde være nok.

Hvad mener du med, hvordan det kan diskutteres? Beder du om hjælp til at forstå på hvilken måde Hilberts hotel illustrerer tælleligt uendelige mængder?

Svar #2
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

jeg skal diskutere, hvad hilberts hotel illustrerer. det illustrerer, det jeg skrev i indlægget øverst. og på den måde illustrerer det jo også den egenskab ved uendeligheden, at uendelig=uendelig+x , hvor x er element i R. Det kan jeg vel skrive en halv side om, hvilket er langt fra nok.

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. januar 2006 af fixer (Slettet)

Du kan selvfølgelig bedst selv vurdere hvad der er tilstrækkeligt. Men du kan til eksempel lade tælleligt uendeligt mange busser, hver især med tælleligt uendeligt mange passagerer ankomme til hotellet. Så kan på denne måde endvidere illustreres at

infty*infty = infty
infty+infty = infty

Svar #4
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Det kan jeg godt gøre, men det er ikke en diskussion. Jeg har allerede regnet en masse med gæster og værelser og rejsebureauer.
Det er selve diskussionen, jeg mangler. Ikke redegørelse og ekspemler på, hvordan man regner de forskellige eksempler ud.
Jeg håber, du forstår, hvad jeg mener, for jeg trænger virkelig til en kick-starter.

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. januar 2006 af sigmund (Slettet)

Jeg ville mene at det, der fremføres i #3, kan ses som en diskussion af Hilberts hotel.

Svar #6
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Hvordan er det en diskussion? Hvis det er en diskussion, må hele min opgave være en diskussion. Jeg ville nærmere betegne det som et eksempel på, hvordan man kan beregne mængden af en uendelighed.

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. januar 2006 af fixer (Slettet)

Det er nu heller ikke rigtigt hvad du skriver i #0. Kardinaltallet for den mængde, der består af alle mulige delmængder af N, er større end kardinaliteten af N.

Det gælder faktisk i almindelighed. Lad M være en mængde med kardinaltal m, og N være mængden hvis elementer er alle mulige delmængder af M. Så har N større kardinalitet end M.

Kardinalitet er hvad du kalder mægtighed.

Det var måske en ide at diskutere hvorledes Hilberts hotel illustrerer dette forhold.

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. januar 2006 af fixer (Slettet)

Skidt notation i den generelle sætning. Der menes her ikke mængden N af de naturlige tal, men en vilkårlige mængde.

En bedre formulering ville derfor være:

Lad M være en mængde med kardinaltal m, og A være mængden hvis elementer er alle mulige delmængder af M. Så har A større kardinalitet end M.

Svar #9
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Hvis min opgaveformulering kan give en idé om, hvad det er, mit problem består i, så lyder den:

Der ønskes en behandling af begreberne tællelig uendelig og overtællelig uendelig. (ingen problemer her)

Specielt ønskes det vist, at de reelle tal er overtællelige. (dette gav heller ikke anledning til problemer)

Desuden ønskes en redegørelse for "Hilberts Hotel" samt en diskussion af, hvad det illustrerer. (det er her, problemet opstår. Jeg har forklaret, hvad Hilberts Hotel er, og hvad der skal til for at få plads til nye gæster. Jeg har også fortalt om, hvorfor Hilbert opfandt sit magiske hotel i Nisseland, og hvilke problemer, det kan give anledning til.)

Svar #10
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

er det så også forkert at sige,at

hvis man har en uendelig størrelse, hvorfra man tager uendelig stor del, så vil den nye del være lige så stor som den oprindelige størrelse. Dvs., at infty-infty = infty

??

Svar #11
26. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Ved du hvad, jeg tror lige, du har reddet min sso. Mange tak for det. Jeg er umådelig glad. Du er naturligvis velkommen, hvis du har flere forslag.

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. januar 2006 af fixer (Slettet)

#10
Ja, det ville være forkert at sige. Følgende operationer involverende uendelig er udefinerede

infty+(-infty)
(-infty)+infty

Enhver uendlig mængde (tællelig eller ej) indeholder en tælleligt uendelig delmængde.

Det kan indses på følgende måde: Lad M være en uendelig mængde og betragt et ankelt element a1 i M. Da M er uendelig kan vi finde et element a2 i M, forskelligt fra a1, dernæst et element a3 forskelligt fra både a1 og a2 og så fremdeles. Ved at fortsætte denne proces (som ikke kan treminere i et endeligt antal skridt da M er uendelig) opnås en tælleligt uendlig delmængde {a1,a2,a3...} af M. Dette beviser ovenstående sætning.

Men bemærk at med samme argumentation vil vi jo hele tiden kunne vælge elementer, der _ikke_ ligger i den tælleligt uendelige delmængde. Mængdedifferencen mellem M og en tælleligt uendelig delmængde er derfor også uendelig (tællelig eller ej).

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. januar 2006 af fixer (Slettet)

#11
Du må skulle diskutere hvorledes Hilberts hotel illustrerer følgende forhold:

a) Kardinaltallet for en uendelig mængde er uændret dersom man tilføjer eller fjerner et endeligt antal elementer.

b) Enhver uendelig mængde M har en delmængde med samme kardinaltal som M (se #12).

c) Kardinaltallet for en uendelig mængde M forbliver uændret dersom man tilføjer eller fjerne en uendelig delmængde med samme kardinaltal som M (se #12).

Svar #14
27. januar 2006 af Otzen (Slettet)

Tak. Det var også, hvad jeg nåede frem til at diskutere. Jeg er nu klar til at aflevere, og så vil jeg vente spændt på min karakter et par måneder.
Tak for hjælpen.

Skriv et svar til: lige stor mængde og delmængde diskussion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.