Matematik

cirkel som graf

16. februar 2006 af Stinnie (Slettet)

Hejså.
Jeg er stødt ind i nogle problemer med denne opgave, og ville derfor høre om der er nogen der vil hjælpe.
opgaven lyder således

En cirkel har centrum i c(1,0) og radius 3.
Angiv en ligning for cirklen og gør rede for at cirkelbuen i første kvadrant er graf for funktionen f(x)=\\|-x^2+2x+8

P er et punkt på cirkelbuen, og A og B er projektionerne af P på henholdsvis første- og andenaksen. Arealet af rektanglet APBO er bestemt ved x*f(x)
Bestem koordinatsættet til P, så arealet af rektanglet APBO er størst muligt..
Hvordan løses de? håber nogen vil hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Hvordan ser ligningen for cirklen ud? Er det ikke (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2, hvor (x0,y0) er koordinaterne til centrum og r er radius?

Opstil ligningen for den beskrevne cirkel og isoler y. Hvordan ser udtrykket nu ud?

Arealet af rektanglet APBO er bestemt ved x*f(x), hvor f(x) er givet før i opgaven.
Dette udtryk skal så maksimeres. Siger differentialregning dig noget?

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. februar 2006 af iinnaj (Slettet)

cirklens ligning:

(x-1)^2 + (y-0)^2 = 9

du kan se hvor jeg har set punkterne ind, og på den anden side af lighedstegnet er r^2

Svar #3
16. februar 2006 af Stinnie (Slettet)

okay, mange tak..
ved at løse den, får jeg samtidig gjort rede for formlen.
men jeg er lidt blank ang. det med at skulle maksimeres.. Vi har ikke haft om optimering endnu. kan du hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Arealet A er givet ved funktionen

A(x) = x*f(x) = x*sqrt(-x^2+2*x+8).

Denne skal maksimeres. Dette gøres ved at finde kandidater til maksimum. Disse findes ved at løse ligningen A'(x) = 0, da en funktion jo har maksimum (eller minimum) når den afledede er lig 0.

Dermed skal A(x) først differentieres; dernæst sættes lig 0 og løses mht. x.

Jeg har ikke flere informationer lige nu.

Svar #5
16. februar 2006 af Stinnie (Slettet)

okay, mange tak. det var allerede hjælp nok.
Mange tak, nu forstår jeg det hele bedre.

Svar #6
16. februar 2006 af Stinnie (Slettet)

har siddet og prøvet at løse den, men jeg kan ikke få den til at gå op. jeg får x=1. hvilket ikke kan passe.
Nogen der har et forslag til hvordan A'(x) til denne funktion A(x) = x*f(x) = x*sqrt(-x^2+2*x+8) ser ud?

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. februar 2006 af gahle (Slettet)

hvis jeg vidste hvad sqrt betød kunne jeg måske hjælpe?

Men den skal jo bare differentieres med reglen for funktioner ganget med hinanden.

Parentesen differenteres således som (nx^(n-1))+2. Dette giver -1*2*x+2=
-2x+2

Men da jeg ikke ved hvad sqrt betyder kan jeg ikke hjælpe helt :S

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Sqrt() er den engelske forkortelse for square root, dvs. kvadratrod.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. februar 2006 af sigmund (Slettet)

Vi har funktionen

A(x) = x*sqrt(-x^2+2*x+8).

Dette er en produktfunktion, hvor den ene faktor er en sammensat funktion

Fra reglen for differentiation af et produkt har vi:

A'(x) = x'*sqrt(-x^2+2x+8) + x*[sqrt(-x^2+2x+8)]'

Hvordan finder vi [sqrt(-x^2+2x+8)]' ?

sqrt(-x^2+2x+8) er en sammensat funktion med den ydre funktion lig sqrt(y) og den indre y = -x^2+2x+8. Fra reglen om differentiation af en sammensat funktion (kædereglen) har vi:

[sqrt(-x^2+2x+8)]' = 1/[2*sqrt(-x^2+2x+8)]*(-2x+2), idet den afledede af sqrt(y) er 1/[2*sqrt(y)].

Således er A'(x):

A'(x) = sqrt(-x^2+2x+8) + x*(-2x+2)/[2*sqrt(-x^2+2x+8)].

Sættes dette lig nul fås

A'(x) = 0 => sqrt(-x^2+2x+8) + x*(-2x+2)/[2*sqrt(-x^2+2x+8)] = 0.

Ganges igennem med sqrt() fås

-x^2+2x+8+(-x^2+x) = 0 <=>
-2x^2 + 3x + 8 = 0.

Denne andengradsligning løses nu mht. x.

God fornøjelse!

Svar #10
17. februar 2006 af Stinnie (Slettet)

Mange gange tak for hjælpen. Det var virkelig til stor hjælp for mig.

Skriv et svar til: cirkel som graf

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.