Fysik
Keplers love - igen!!
05. marts 2006 af
diddi-doo (Slettet)
Er der da slet ingen der kan hjælpe med følgende???
Som et tankeeksperiment antagers det, at den tiltrækkende gravitationskraft i stedet for, at være omvendt proportional med r^2, er omvendt proportional med r^3.
Vi vil afgøre hvorledes Keplers tre love ændres af denne teori. For en af lovenes vedkommende kan det ikke let afgøres, og derfor er ”Kan ikke let afgøres.” et acceptabelt svar til et enkelt spørgsmål.
a Hvordan ændres Keplers første lov?
b Hvordan ændres Keplers anden lov?
c Hvordan ændres Keplers tredje lov for cirkulære planetbaner?
På forhånd tak...
Som et tankeeksperiment antagers det, at den tiltrækkende gravitationskraft i stedet for, at være omvendt proportional med r^2, er omvendt proportional med r^3.
Vi vil afgøre hvorledes Keplers tre love ændres af denne teori. For en af lovenes vedkommende kan det ikke let afgøres, og derfor er ”Kan ikke let afgøres.” et acceptabelt svar til et enkelt spørgsmål.
a Hvordan ændres Keplers første lov?
b Hvordan ændres Keplers anden lov?
c Hvordan ændres Keplers tredje lov for cirkulære planetbaner?
På forhånd tak...
Svar #1
06. marts 2006 af fixer (Slettet)
Du får nok ikke mere hjælp af at oprette en ny tråd om samme emne, opdater blot den gamle.
a) Første lov vises ved at løse bevægelsesligningerne i polære koordinater. Idet vi med l benævner impulsmomentet per masseenhed (l = L/m) får man en ligning på formen
(d^2)z/(dtheta)^2 + z = -1/((lz)^2)F(1/z) (*)
hvor z=1/r, r er radisuvektor, theta den polære vinkel og F er gravitationskraften per masseenhed. Prøv evt. selv at udlede ovenstående. Alternativt findes utvivlsomt en udledning i dit lærebogsmateriale.
Hvis F(1/z) = F(r) = -GM/r^2 fås de traditionelle løsninger. Hvorledes ser disse løsninger ud, hvis istedet F(r) = -GM/r^3 ? Bemærk, at i så fald bliver (*) en homogen differentialligning modsat en inhomogen i det traditionelle tilfælde.
b) Keplers anden lov hviler på det faktum, at gravitationskraften er parallel med radiusvektor hvorfor impulsmomentet ikke afhænger deraf. Da dette forhold ikke ændre sig ved at ændre gravitationens afstandsafhængighed, så kan vi slutte - ja, hvad ?
c) Med
F(r) = -GM/r^3
bliver hastigheden i cirkelbevægelsen med radius a bestemt af
v^2/a = GM/a^3
v = sqrt(GM)/a
Betragt et vilkårligt punkt på cirklen. I et infinitesimalt tidsrum dt kan arealet overstrøget af radiusvektor beregnes vha af en trekant med højde a og grundlinie lig med den afstand, det kredsende legeme i tidsrummet dt tilbagelægger når nu dets hastighed er v. Kald dette areal A og få
A = ½avdt (**)
Da, ifølge (b), radiusvektor overstryger lige store arealer i samme tidsrum er den tidsafledede, dA/dt, af (**) konstant. Arealet af hele cirklen er pi*a^2 og da dette areal bestryges over eet omløb, som tager tiden T, må der gælde
T*dA/dt = pi*a^2
eller
½sqrt(GM)T = pi*a^2
d.v.s
T = (2pi*a^2)/sqrt(GM)
eller
T^2 = (4pi^2*a^4)/(GM)
som skal sammenlignes med de sædvanlige
T^^2 = (4pi^2*a^3)/(GM)
a) Første lov vises ved at løse bevægelsesligningerne i polære koordinater. Idet vi med l benævner impulsmomentet per masseenhed (l = L/m) får man en ligning på formen
(d^2)z/(dtheta)^2 + z = -1/((lz)^2)F(1/z) (*)
hvor z=1/r, r er radisuvektor, theta den polære vinkel og F er gravitationskraften per masseenhed. Prøv evt. selv at udlede ovenstående. Alternativt findes utvivlsomt en udledning i dit lærebogsmateriale.
Hvis F(1/z) = F(r) = -GM/r^2 fås de traditionelle løsninger. Hvorledes ser disse løsninger ud, hvis istedet F(r) = -GM/r^3 ? Bemærk, at i så fald bliver (*) en homogen differentialligning modsat en inhomogen i det traditionelle tilfælde.
b) Keplers anden lov hviler på det faktum, at gravitationskraften er parallel med radiusvektor hvorfor impulsmomentet ikke afhænger deraf. Da dette forhold ikke ændre sig ved at ændre gravitationens afstandsafhængighed, så kan vi slutte - ja, hvad ?
c) Med
F(r) = -GM/r^3
bliver hastigheden i cirkelbevægelsen med radius a bestemt af
v^2/a = GM/a^3
v = sqrt(GM)/a
Betragt et vilkårligt punkt på cirklen. I et infinitesimalt tidsrum dt kan arealet overstrøget af radiusvektor beregnes vha af en trekant med højde a og grundlinie lig med den afstand, det kredsende legeme i tidsrummet dt tilbagelægger når nu dets hastighed er v. Kald dette areal A og få
A = ½avdt (**)
Da, ifølge (b), radiusvektor overstryger lige store arealer i samme tidsrum er den tidsafledede, dA/dt, af (**) konstant. Arealet af hele cirklen er pi*a^2 og da dette areal bestryges over eet omløb, som tager tiden T, må der gælde
T*dA/dt = pi*a^2
eller
½sqrt(GM)T = pi*a^2
d.v.s
T = (2pi*a^2)/sqrt(GM)
eller
T^2 = (4pi^2*a^4)/(GM)
som skal sammenlignes med de sædvanlige
T^^2 = (4pi^2*a^3)/(GM)
Skriv et svar til: Keplers love - igen!!
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.