Matematik

Hooks lov og harmoniske svingninger

13. april 2006 af Bozack (Slettet)

Jeg vil gerne udlede funktionen for svingningen på en fjeder ud fra Hookes lov.

Jeg kender Hookes lov som værende:

F = -k * x

og ud fra Newtons anden lov (F = m * a) er denne:

m * a = -k * x

Da accelerationen a er forlængelsen af fjederen x differentieret to gange, altså x'', vil jeg gerne finde denne, og dette skal være i forhold til tiden.

Altså opstiller jeg denne ligning:

x''(t) = -k/m * x(t)

Herfra går det så i ged. Jeg ved ikke hvordan jeg løser denne ligning og altså finder x(t). Hvad jeg har kunnet finde i diverse bøger er at løsningen bør være:

x(t) = sin^-1( kvadratrod(k/m) * t)

Men jeg ved ikke hvordan jeg kommer hertil, er der nogen der har forstand på differentialligninger som kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2006 af Peden (Slettet)

Hvis du nu starter med at se bort fra konstanten (-k/m) og bare se på:

x''(t) = x(t)

Så betyder det jo, med andre ord at du skal finde den funktion som differentieret to gange giver sig selv. Prøv at svare på det først, og udvid så med konstanten også ;)

Svar #2
14. april 2006 af Bozack (Slettet)

Den funktion der differentieret to gange giver sig selv er exp()... ikke? Men derfra kommer jeg ikke meget videre.

Hvis jeg differentierer sin() to gange giver den jo -sin() ? Og det er vel sinus jeg bør finde frem til.

Mange gange sorry men jeg er meget lost i det her..

Svar #3
14. april 2006 af Bozack (Slettet)

Hmm jeg har ledt lidt mere på nettet og løsningen må være:

x(t) = A * sin( kvadratrod(k/m) * t)

Men jeg ved stadig ikke helt hvordan jeg skal kunne sætte konstanten ind på den rigtige måde.. Hvordan kan det være at den skal være inden i sinusfunktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. april 2006 af Peden (Slettet)

Plus, minus, hvem holder regnskab? :)

k/m kaldes også for w^2, altså et lille omega i anden eller bare egenfrekvensen.

x''(t) = -w^2*x(t) = -w^2*A*sin(w*t)

Grunden til at vi kan skifte x(t) ud med A*sin(w*t) er at vi taler om en given placering i en svingning. Så vi indsætter ligningen herfor. Derfra er det nemmere at komme videre.

x'(t) = w*A*Cos(w*t)

x(t) = A*sin(w*t)

Svar #5
14. april 2006 af Bozack (Slettet)

Så tror jeg det giver mening :) mange tak skal du have for det!

Jeg kigger det lige ordentligt igennem i morgen efter en god nats søvn, er bange for jeg er for død til at tænke alt for meget matematik lige nu :P

Skriv et svar til: Hooks lov og harmoniske svingninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.