Matematik

Logistisk vækst

17. april 2006 af wuk (Slettet)

Hej,

Jeg har problemer med stk. g) i følgende opgave: http://hien.dk/opgave2.pdf

Resultaterne for de forrige stykker fremgår også af pdf-filen. Problemet består i, hvordan jeg skal opstille en differentialligning (antageligt en logistisk vækst) hvor væksten konstant vokser med 2% for t=0.

Dvs. jeg ved: N´(0)=0,02 (svarende til 2%), men hvordan skal jeg få det implementeret i den logistiske vækst? Har forgæves forsøgt bare at indsætte det som en konstant, k.

Hvad er tricket?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. april 2006 af CziX (Slettet)

"I starten kan man antage, at antallet af gærceller vokser konstant med 2%, når tiden næsten er 0
g) Opstil en differentialligning for denne udvikling og find den løsning, der passer til antagelsen
af målingerne."

Som jeg forstår opgaven, er der ikke længere tale om en logistisk vækst, men derimod en differentialligning på formen: dN/dt = ky

Hvis gærcellerne vokser konstant med 2 %, vil proportionalitetsfaktoren være 1,02.

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. april 2006 af CziX (Slettet)

Undskyld, proportionalitetsfaktoren skal være 0,02

Svar #3
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Jeg har forsøgt med dN/dt*ky, dog forgæves.

Vi har:

n´(t) = k * n <=>
n´(0) = 1,02 * n

jeg ved fra tabellen, at n(0) = 0,9:

n(t) = c * e^(kt) <=>
0,9 = c * e^(1,02*0) <=>
c = 0,9

dvs:
n(t) = 0,9 * e^(1,02t)

Det passer i hvert fald ikke grafisk..

Svar #4
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Det passer heller ikke med 0,02 (altså 2/100 = 2%)

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. april 2006 af CziX (Slettet)

På min lommeregner ser det meget fornuftig ud.

Svar #6
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Får du samme kurve som på http://hien.dk/opg2g.pdf ?

I så fald passer den da meget dårligt i forhold til punkterne fra tabellen som også er indtastet i samme koordinatsystem.

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. april 2006 af CziX (Slettet)

Ja

"I starten kan man antage, at antallet af gærceller vokser konstant med 2%, når tiden næsten er 0
g) Opstil en differentialligning for denne udvikling og find den løsning, der passer til antagelsen
af målingerne."

Man kan altså antage i starten, at antallet af gærceller vokser konstant med 2%, når tiden er omkring 0.

Så står der: Opstil en diferentiealligning for _denne_ udvikling og find den løsning, der passer til antagelse af målingerne (her menes der i starten)

Iøvrigt så kommer der et spørgsmål, om hvorfor gærceller ikke kan vokser eksponentielt, når t -> uendelig.

Svar #8
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Ok men så forstår jeg ikke formuleringen. Hvad vil det ganske enkelt sige, at jeg skal finde?

Jeg har jo fundet y = 0,9 * e^(0,02x) som illustrerer den udvikling, hvor antallet af gærceller vokser konstant med 2%, når tiden cirka er 0 - korrekt?

Det næste er så, at jeg skal opstille en differentialligning af samme type for vækstfunktionen? I så fald har jeg indsat N(480) = 67,2 i:

y = c * e^(0,02x) <=>
67,2 = c * e^(0,02*480) <=>
c = 0,004553
=> y = 0,004553 * e^(0,02x)

Heller ikke en specielt køn kurve..

Svar #9
17. april 2006 af wuk (Slettet)

For vækstfunktionen mener jeg over tabelværdierne.

"Iøvrigt så kommer der et spørgsmål, om hvorfor gærceller ikke kan vokser eksponentielt, når t -> uendelig."

Ja, det har jeg set, men hvad har det af betydning?

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. april 2006 af CziX (Slettet)

"Det næste er så, at jeg skal opstille en differentialligning af samme type for vækstfunktionen? I så fald har jeg indsat N(480) = 67,2 i:

y = c * e^(0,02x) <=>
67,2 = c * e^(0,02*480) <=>
c = 0,004553
=> y = 0,004553 * e^(0,02x)

Heller ikke en specielt køn kurve.."

Undskyld, men hvor står det?

#9

Hvis den er eksponentiel, så skal den være på formen: y = k+c*e^x

Svar #11
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Med det sidste mener du så, at der er en antydning om, at differentialligningen jeg skal opstille i stk. g er af typen "y = c * e^kx"? - hvor y´ = k*y

--

Altså i tabellen har vi N(480) = 67,2. Den indsatte jeg så i den funktionen jeg selv har opstillet fra #3 (jeg har bare bare brugt k=0,02 i stedet for 1,02).

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. april 2006 af CziX (Slettet)

#11

Nej, jeg mener ikke, at den opstilles i stk. I opgaven hentyder de til starten af værdierne, og derfor vil den ekspontiele funktion kun følge starten, da man antager at gærceller vokser konstant med 2 %. Men som vi ser på tabelværdierne aftager den med tiden, og derfor er vokser de ikke med 2 % mere.
Derfor skal du bruge en tabelværdi i starten, hvis det skal give en mening.

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. april 2006 af CziX (Slettet)

Hvis den er eksponentiel, så skal den være på formen: y = k+c*e^kx, selvfølgelig

Svar #14
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Er det så fint hvis jeg gør som følger:
http://hien.dk/mat.pdf ?

Dvs. så har jeg udtrykket:
N(t) = 0,9 * e^(0,02t)

Jeg forstår ikke hvad du mener med stk. I - altså det udtryk jeg netop har opstillet vokser da eksponentielt? - også selvom t -> uendelig

Svar #15
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Hedder formlen ikke y = c * e^kx og ikke med en ekstra konstant som du skriver det? Er jeg da rimelig sikker på..

Brugbart svar (0)

Svar #16
17. april 2006 af CziX (Slettet)

#5 Jo, ganske rigtig

For den skal være eksponentiel, skal den være på formen: y = k1+c*e^kx . I det her tilfælde er k1 = 0. Du har fat i den rigtige formel. Roder lige rundt med bogstaverne, undskyld.

"Jeg forstår ikke hvad du mener med stk. I - altså det udtryk jeg netop har opstillet vokser da eksponentielt? - også selvom t -> uendelig"

Vi glemmer bare det, har misforstået dig.

Det ser fint ud efter min mening, dog vil det se bedre ud, hvis grafvindueet er lidt mere "konkret". x tilhører [0,480] og y tilhører [0;67,2]

Svar #17
17. april 2006 af wuk (Slettet)

Ok godt vi fik afklaret det.

Men hvad så med stk. I? Jeg forstår ikke spørgsmålet, for som førnævnt vokser gærkulturen jo eksponentielt når t -> uendelig.

Skriv et svar til: Logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.