Matematik

Implicit funktion

28. oktober 2006 af Quasar (Slettet)

Hej

Jeg har en funktion F(x,y,z) = x^(2)cos(y) + 2ycos(x) + 3z-sin(z)

I en omegn af (0,0,0) bestemmer ligningen F(x,y,z) = 0 z implicit som en funktion af x og y: z = f(x,y). Jeg skal så vise, at funktionsværdien af f i (0,0) er entydigt bestemt.

Der må gælde:

F(0,0,f(0,0)) = F(0,0,z) = 3z-sin(z)

Jeg kender desuden den partielle afledte mht. z:

F(z) = 3-cos(z)

Den partielle afledte viser, at z er defineret i intervallet [4;2], men er det entydigt bestemt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2006 af Matkaj

F(x,y,z)=0 giver 0 = x^2cos(y)+2ycos(x)+3z-sin(z) dvs. z er implicit bestemt af:
3z-sin(z) = -(x^2cos(y) + 2ycos(x)). Lad nu x = y = 0 så fås:
3z = sin(z) (som implicit bestemmer z = f(0,0)), hvilket kun har en løsning, nemlig z = 0, så f(0,0)=0. Forklaringen på at der kun er en løsning er at |z| er større end eller lig |sin(z)| og en given løsning vil opfylde at de har samme fortegn, så 3z = sin(z)kan kun have løsningen z = 0 da |3z| ellers vil være større end |sin(z)|.
Det kan sikkert løses på smukkere vis!

Svar #2
29. oktober 2006 af Quasar (Slettet)

Hmmm, kunne du eventuelt forklare entydigheden lidt mere?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. oktober 2006 af Matkaj

tænker du på hvorfor det lige må give 0 ? altså at 3z = sin(z) kun har løsningen z=0?

Svar #4
29. oktober 2006 af Quasar (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. oktober 2006 af Matkaj

|z| > |sinz| pånær for z=0, følger af definitionen på radiantal og sin(z), tegn f.eks. en enhedscirkel og overbevis dig selv.

Vi har nu at 3|z| = |sinz| kun har løsningen z = 0 , for et vilkårligt andet z bliver højresiden mindre end venstresiden.

Tilbage til 3z = sin(z).
Antag at denne har en løsning der er forskellig fra 0.

Løsningen må så naturligvis også være løsning til
3|z| = |sin(z)|, men det var jo umuligt, så der er kun et valg, nemlig z = 0.

Svar #6
29. oktober 2006 af Quasar (Slettet)

Det kan jeg godt se nu, tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Implicit funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.