Matematik

Lineær algebra - basis for kerne givet ved reelle funktioner

17. december 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Jeg er blevet givet afbildningen

L(u)(t)=u''(t)-2u'(t)+5u(t)

og skal finde en basis for ker(L) bestående af reelle funktioner. Jeg har besluttet mig for at løse afbildningen som en differentialligning og er kommet frem til følgende:

u(t)=C*e^(t)*sin(2t)+D*e^(t)*cos(2t)

Men hvordan skal jeg stille dét op som en basis?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. december 2006 af fixer (Slettet)

ker(L) = {u|L(u)=0} så løsningerne til differentialligningen L(u)=0 er samtlige vektorer i kernen. Så metoden er ok.

Vink: er sin(2t) og cos(2t) lineært uafhængige ?

Svar #2
17. december 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Hej.

Tak for svaret. Synes altid det er dig, der besvarer mine spørgsmål..

Jeg kunne godt tænkte mig, at du uddyber dit vink lidt. Hvis du vil være så venlig.

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. december 2006 af fixer (Slettet)

Ja, det synes jeg også.

Du har set, at samtlige funktioner i kernen kan udtrykkes som en linearkombination af funktionerne sin(2t) og cos(2t) [vi forudsætter du har løst L(u)=0 korrekt].

Det der kendtegner en basis for et vektorrum er netop, at samtlige vektorer i vektorrummet kan skrives som en linearkombination af basisvektorerne.

Derfor: hvis sin(2t) og cos(2t) er lineært uafhængige, så må de være en basis for kernen.

Svar #4
17. december 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Ja. De er lineært uafhængige, fordi cos(0)=1. Men hvordan skriver jeg det op som en basis? normalt skriver man jo basen op som {[e1],[e2]}. Det var egentlig lidt dét, jeg ville have hjælp til. Er det nok, at jeg siger de danner en basis for C(R), da sin(..) og cos(..) er lineært uafhængige?
Jeg kan ikke skrive det op, som ved "normale" baser?

Og så vil jeg lige spørge dig, om du kan hjælpe mig med mit andet indlæg: "Lineær algebra - afbildninger"..?

Det ville være virkelig rart. Og tak for svaret omkring Rotation i fysikforumet. Det hjalp.

Svar #5
17. december 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Nej. De er jo ikke lineært uafhængige, hvis det jeg siger skal gælde. For sin(0)=0. Og så er det ikke nødvendigt, at C=0. Og så gælder mit teorem pludselig ikke.
Hmm..

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. december 2006 af fixer (Slettet)

Husk på vektorrummet er et funktionsrum. Hvis to vektorer (her: funktioner) skal være lineært afhængige, så skal de være proportionale for _alle_ værdier af funktionsargumentet (her: t). Og proportionalitetskonstanten må ikke være 0. Eftersom man ikke kan finde en sådan proportionalitetskonstant mellem cos og sin, så er de lineært uafhængige. Basis er derfor cos(2t), sin(2t).

Svar #7
17. december 2006 af Ole Sørensen (Slettet)

Det argument har jeg godt nok aldrig hørt før, og siden der ikke står noget lignende i vores bog, er jeg ikke sikker på at jeg kan bruge argumentet. Men tak fordi du svarede. Jeg finder nok på noget.

God jul!

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. december 2006 af sigmund (Slettet)

#7,

Argumentet i #6 står helt sikkert i din bog. Det er definitionen på lineær uafhængighed, og den står helt sikkert i din bog.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. december 2006 af sigmund (Slettet)

Forhåbentlig kan I bære over med den "outstanding" dårlige formulering i #8!

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. december 2006 af DanielPetersen (Slettet)

Er det gym-stof?

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. december 2006 af sigmund (Slettet)

#10,

Kort: nej, det er ikke gymnasiestof.

Skriv et svar til: Lineær algebra - basis for kerne givet ved reelle funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.