Metriske rum og lign.

For det første, "point sets" _hedder_ "punktmængder" på dansk.

For det andet, så er jeg heller ikke sikker på, at jeg forstår, hvad der står. Er sætningen fra et bevis af B-W-sætningen? På nettet findes der også beviser, jeg vil vise dig til en Wikipedia-artikel om emnet: http://en.wikipedia.org/wiki/Bolzano-Weierstrass_theorem . Deri er også links til andre sider, der også beviser B-W-sætningen. Du kan sammenligne med disse, og se om du så forstår.

Tak for svaret!

Jeg vil lige prøve at kigge på de andre links.

Det står under aksiomet "Nested Intervals Axioms", der er efter B-W-sætningen. Men bogen vælger så at kigge på denne sætning igen.

Jeg har yderligere et spørgsmål i forbindelse med B-W for følger:

2) Sætningen lyder: Hvis en følge {a_n} er begrænset, så eksisterer en konvergent delfølge {a_(n_k)}.

Det første af beviset:

"Der eksisterer a,b, så for alle n >= 1: a =< a_n =< b (da følgen {a_n} er begrænset)

Der eksisterer psi i [a,b]
psi er fortætningspunkt for {a_n}, da {a_(n_k)} er en delfølge af {a_n}, og {a_(n_k)} konvergerer mod psi.

Men vi kan da ikke bruge konklusionen på sætningen til at bevise den? Har jeg glippet noget?

Her følger yderligere nogle spørgsmål (håber da ikke, at jeg skræmmer jer væk).

3) Vi er i de reelle tal og betragter følgen 1,2,3,4,...
Hvorfor er 1,1,1,1,... ikke en delfølge af den?

4) Jeg tror (også set i forhold til spg. 3), at der er noget, jeg ikke forstår ved delfølger. "S er følgelukket, hvis for alle x i S, der eksisterer en følge {x_n} i S og lim x_n = x (der kommer lidt mere bagefter)".

Der står så, at dette er trivielt, da man blot kan vælge følgen x_n=x for alle n >= 1. Hvordan er det muligt, hvis det ikke var muligt at vælge 1,1,1,... i spg. 3?

5) Ofte står der "Der eksisterer x_infty i R, så for alle epsilon > 0 eksisterer der N >= 1, så x_N er i (x_infty - epsilon, x_infty + epsilon)"

Hvorfor er det ækvivalt med:

"Der eksisterer x_infty i R, så for alle k >= 1 eksisterer der n_k >= 1, så x_(n_k) er i (x_infty - 1/k, x_infty + 1/k)"

6) Jeg er ved at bevise Heine-Borels sætning i R. Skal vise, at hvis A er kompakt, er A begrænset.
Tag x i A.
B_5(x)=(x-5,x+5).
A en delmængde af foreningsmængden over x i A af (x-5,x+5) => A en delmængde af foreningsmængden fra i=1 til N af (x_i-5,x_i+5).

a) Hvorfor er beviset ikke slut her? Har vi dermed ikke bevist, at A er begrænset?

b) Der fortsættes med:
"Kan skrive elementerne i voksende rækkefølge:
x_1 =< x_2 =< ... =< x_N
A en delmængde af [x_1-5,x_1+5]"

Har jeg ikke skrevet forkert efter tavlen her? Kan det passe, at det skal være [x_1-5,x_N+5]?

Hov - jeg var ikke færdig.

7) f(B_delta (x_0)) en delmængde af V <=> B_delta (x_0) en delmængde af f^(-1) (V)

Med f^(-1) tror jeg, at der menes urbilledet. Hvorfor gælder det?

Det er ikke meget hjælp du har fået. Et ligegyldigt link og så farvel og tak.

Sabrina, du læser åbenbart ikke mails på din unikonto, for jeg mailede svarene på spørgsmålene i din forrige tråd til dig for lang tid siden.

1)

Sidste sætning siger, at hvis der er mere end et fortætningspunkt for S så kan dette fortætningspunkt ikke være mindre et det, der allerede er fundet.

Hvad det er for et, man allerede har fundet, må med de givne oplysninger stå hen i det uvisse. Nærliggende er det dog at man har konstrueret en følge af intervaller I_n = [a_n,b_n] ordnet ved skarpe inklusioner, I_{n+1}\subset I_n og argumenteret udfra det. Når du er så nøjsom med oplysningerne må vi udbede os en nærmere forklaring hvis der skal mere kød på.

Det kunne også være interessant at vide, hvordan din Bolzano-Weierstrass sætning er formuleret. I har øjensynligt kun betragtet begrænsede talfølger i R og vist at enhver sådan har mindst eet fortætningspunkt. Viser i også det generelle, at en delmængde af R^n er følgekompakt hviss den er lukket og begrænset ?

Hvis ikke hukommelsen spiller mig et puds er følgekompakt for metriske rum det samme som kompakt. Det er det ikke for topologiske rum i almindelighed.

2)

Igen, det ville hjælpe at vide præcist hvilke sætninger du har til rådighed på dette sted og om det er reelle følger, der betragtes, således som dit forrige spørgsmål lader forstå.

Hvis det er tilfældet, så ved du at følgen har et fortætningspunkt a, thi den er begrænset. Og vi kan konstruere en delfølge (x_{n_p})_{p\inN} af (x_n)_{n\in N} således at afstanden d(a,x_{n_p}) < 1/p for alle p \in N [det skal selvfølgelig vises]. Heraf følger at lim_{p->\infty}x_{n_p} = a og vi har en konvergent delfølge.

Giv flere informationer, hvis det ikke er svar nok.

3)

Fordi delfølgen indiceres af en voksende funktion. Ved en delfølge af en følge (x_n), n\in N forstås en følge (y_p), p \in N hvor y_p = x_{n_p} hvor (n_p) er en voksende følge i N. Med andre ord skal der gælde, at n_p<n_q hvis p<q. Man kan altså opfatte delfølgen (y_p) som (x_{phi(n)}) hvor phi er en voksende funktion af n (den der piller elementerne ud af følgen (x_n)).

I dit eksempel piller du hele tiden første element ud, så du har (x_n) = = (x_1) hvilket ikke er delfølge, da index er konstant.

4)

Forskellen mellem 3 og 4 er, at i 3 prøver du at lave en delfølge_ af en følge; i 4 laver du bare en følge.

Der er ikke noget i vejen for at en følge kun har eet element (her x) og enhver delfølge af denne vil også kun have eet og samme element.

(x_n) : x,x,x,x,x,x,....
(y_p) : x, ,x, ,x, ,....

Sammenlign med 3 hvor et eksempel på en delfølge er:

(x_n) : 1,2,3,4,5,....
(y_n) : 1, ,3, ,5,....
(s_n) : 1, 1, ,1,.... <- s for Sabrina...

Kan du se hvorfor din "delfølge" ikke er en delfølge.

Slut for denne gang.

Som du nok har bemærket gør jeg alvor af intentionen om at droppe stuideportalen.

Hvis ingen kan svare på dine spørgsmål kan du som sidste udvej prøve at maile mig.

Jeg kunne alligevel ikke dy mig, så her lige den sidste olie.

5)
Følger af argumentationen i 2. Der konstruereres en delfølge så d(a,x_n_p) < 1/p. Argumenter udfra KU noten; der vises hvad det er for en mængde D og hvordan delfølgen konstrueres.

6a)

Man har blot udnyttet at A er kompakt til at konstruere en endelig, åben overdækning (x_i-5,x_i+5), i \in {1,2,..,N}. Der skal argumenteres for, at en endelig overdækning bestående af åbne mængder af begrænsede elementer [DET ved du de er] ikke kan overdække en mængde, der ikke er begrænset, thi foreningen af elementerne i mængderne i den endelige overdækning er begrænset.

6b)

Jo. Ja.

7)

Det undrer mig at ingen i det mindste har svaret på det. Det er basal funktionslære. Lad f være en funktion f:A->B mellem to mængder A og B og lad B1 og B2 være delmængder af B, og A1 og A2 delmængder af A. Så gælder

A1 \subseteq A2 => f(A1) \subseteq f(A2)

B1 \subseteq B2 => f^(-1)(B1) \subseteq f^(-1)(B2)

hvoraf biimplikationen følger.

Hvorfor? Originalmængden betegnet f^(-1)(B1) består af alle de elementer i A, der afbildes i B1. Specielt må originalmængden til en delmængde af B1 derfor være indeholdt i f^(-1)(B1). Og billedmængden f(A1) består af elle de elementer i B, som er billeder af elementer i A1. Specielt må den derfor indeholde billedmængden af enhver delmængde af A.

Over and out.

derfor indeholde billedmængden af enhver delmængde af A.

->

derfor indeholde billedmængden af enhver delmængde af A1.

Hej Martin

Mange tak for dit svar på mine spørgsmål!
Det er åbentbart min gamle mail fra basis, som du har. Jeg har sendt en besked til dig med den nye. Da jeg åbnede min gamle mail for at lede efter din mail, havde jeg 300 ulæste mails. Men det lykkedes mig at finde din. 1000 tak for den! I forbindelse med dit svar på spørgsmål 2, skriver du:
"Nej det er ikke det samme. Den første går mod
nulvektoren, den anden mod skalaren 0."
Kan man så sige, at de to udtryk er ækvivalente?

"Det kommer an på i forhold til hvad. I forhold til
lineære led, ja." Fornemt - det var netop i forhold til det, jeg mente.

Og tak for det gode link i forbindelse med spg. 1.

Det glæder mig, at du alligevel ikke kunne dy dig ;) Og tak for tilbuddet om at maile dig som min sidste udvej! Det betyder meget at have et "sikkerhedsnet".

Jeg vil printe dine svar ud og læse dem på papir undervejs, som jeg skriver dispositioner til de forskellige spørgsmål, så skal jeg nok vende tilbage med feedback.

Mens jeg har læst op til vektorrum, er der dukket et enkelt spørgsmål op (metriske rum er klart sværest). Hvis du skulle komme herind og snuse igen, og spørgsmålet er rimelig let, må du meget gerne grifle et par kloge ord ned :)

7) Hvis T er normal og lambda en egenvektor for T, hvorfor er T-lambda*I så normal?

Hov, det skulle have været spg. 8

Ang. spg. 8 så forsøgte jeg lige selv en sidste gang. Hvis vi lader lamda = v, så vil jeg vise, at
(T-vI)(T-vI)*=(T-vI)*(T-vI)

Jeg starter med at udregne venstresiden:
(T-vI)(T-vI)*=
(T-VI)(T*-v'I*= (med v' menes v kompleks konjugeret)
T(T*-v'I*)-vI(T*-v'I*)=
TT*-v'T-vT*+vv'I

Og så vil jeg udregne højresiden og se, om det giver det samme.
Findes der en lettere metode og er mine regneoperationer korrekte?

Lidt feedback på 1 og 2:

Først lidt overordnet: Det er reelle følger, jeg betragter :)

1) Bogen er lidt rodet, så jeg var i tvivl om, hvad jeg skulle medtage.
Bogen beviser først B-W: "Is S is a bounded infinite point set, then there exists at least one cluster point for S."

S=[a,b]. Dette interval halveres hele tiden og så [a_1,b_1] vælges den halvdel af [a,b], der indeholder uendeligt mange punkter.


I forbindelse med dit spg. om R^n så viser vi, at "En delmængde af R^n er følgekompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset".

Jeps, følgekompakt er det samme som kompakt i et metrisk rum, men ikke i et topologisk rum i almindelighed (god hukommelse :) ).

2) Hvorledes vides, at en begrænset reel følge har et fortætningspunkt? Jeg ved ikke, hvilke sætninger du bruger til det, men jeg prøver lige at skrive lidt af dem op, som jeg har til rådighed på det tidspunkt i bogen:

a) "Hvis en følge konvergerer, er den begrænset"

b) "{a_n} en konvergent følge med lim a_n=psi og antag l<a_n<u for alle n i N. Så er l =< psi =< u"

Der er dem, der står før sætningen i samme afsnit (afsnittet om følger). Der står enkelte andre, men jeg kunne ikke forestille mig, at de har relevans.

Spg 3) Mange tak - det gav god mening :)

Forresten har du helt ret i bevisets gang i forbindelse med spg. 2 (konstruktionen af delfølgen med afstanden mindre end 1/p).

Spg 4) Hehe! Du er simpelthen så pædagogisk :) Det er så rart, når tingene er stillet op under hinanden, så man let kan sammenligne dem. Jeg er stolt over, at jeg har fået opkaldt en pseudo-delfølge efter mig ;)

Hej Sabrina

Jeg har modtaget beskeden med din nye mailadresse. Er det en du checker regelmæssigt?

#8 Angående normspørgsmålet.

Aha, se det var straks et andet spørgsmål. Du spørger om

lim||T(h)|| = 0
h->0

<=>

lim T(h) = \vec{0}
h->0

Ja. For der gælder for enhver norm at

1) ||x|| <=> x=0
2) normer er kontinuerte

#8, #10

7) Dine regninger og udgangspunktet er gode nok. En matrix A er normal hviss AA^{H} = A^{H}A hvor jeg bruger H(ermitisk) for komplekskonjugering. Mine regninger forløber sådan her

(T-vI)^{H}(T-vI) = (T-vI)(T-vI)^{H} <=>
(T^{H}-\bar{v}I)(T-vI) = (T-vI)(T^{H}-\bar{v}I) <=>
T^{H}T-vT^{H}-\bar{v}T+v²I² = TT^{H}-\bar{v}T-vT^{H}+v²I² <=>
0 = 0

hvor jeg bruger \bar{} for konjugering og udnytter at T er normal til at slutte at T^{H}T = TT^{H}.

Viser i også at T er normal hviss der findes en diagonalmatrix D og en unitær matrix B så T = B^{H}DB hvor elementerne i D er egenværdierne for T og i søjlerne for B står de ortonormale egenvektorer for T ?


#11
Ok, jeg troede i havde vist Bolzano-Weierstrass i forklædningen "enhver begrænset reel talfølge har et fortætningspunkt". Det var det jeg udnyttede i #5 2).

For at vise sætningen defineres mængden

D = {k\in R | mængden {n\in n|x_n\geq k} er endelig}

altså mængden af tal k for hvilke kun et endeligt antal elementer af følgen er større end eller lig k. Da følgen er opad begrænset er kan D ikke være tom (supremumsegenskaben med de reelle tal). Da følgen er nedad begrænset følger af infimumsegenskaben for de reelle tal at også D er nedad begrænset. D har dermed et største undertal inf D. Ideen er nu at vise, at inf D er et fortætningspunkt. Dertil bemærker man at for ethvert e>0 ligger inf D+e i D så mængden {n|x_n\geq inf D+e} er endelig (qua mængdebyggeren for D). Derimod ligger inf D-e ikke i D så mængden {n|x_n\geq inf D-e} er uendelig. Ergo er {n|inf D-e <= x_n <= inf D+e} uendelig og inf D dermed et fortætningspunkt for (x_n)

Hej Martin

Endnu en gang mange tak for svaret. Ja, den mail, som jeg har sendt til dig, tjekker jeg stort set hver dag.

Der er vist gået rod i nummereringen.

5) Argumenter ud fra KU noten. Hvad er KU noten?

6) Tak :)

7) (mængde-spørgsmålet) Ud fra dine to implikationer havde jeg lidt svært ved at følge, hvordan biimplikationen fulgte. Men så skrev jeg alle fire mængder ud og op under hinanden to og to med inklusion. Det hjalp faktisk!

8) (norm-spørgsmålet) Aaah! Fornemt :)

Operatorspørgsmålet: Når du skriver v^2, skal det så ikke være |v|^2? Det er vel ikke det samme, hvis v er kompleks?

11) Du har faktisk ganske ret i, at vi har vist: "Is S en delmængde af R er en begrænset, uendelig punktmængde, så eksisterer der mindst et fortætningspunkt for S". Så kan jeg bare udnytte den direkte? Undskyld, jeg sov lidt i timen der.
Men prøver lige at printe det ud, som du har skrevet om D. Det ser interessant ud.

Ja, jeg tror jeg fik busted nummereringen. Men du kan nok foretage de nødvendige permutationer :-)

5) Ja, hvad hulen er det? Jeg tror meningen var, at jeg ville sende dig en gammel note fra KU hvor jeg mente, konstruktionen af delfølgen stod i. Det kom jeg så åbenbart væk fra. Er det et problem med konstruktion af delfølgen? Så må jeg jo til at grave efter den eller endnu værre, til at tænke mig om...

8 norm: jo, |v|² !

11 Ja.

Eftersom jeg intet kender til studiet på AAU kunne det være interessant at vide, om det er hugget i sten hvilke fag du skal have hvert semester, eller om du selv vælger ? Naturligvis må visse grundfag være obligatoriske, men der er vel også indbygget nogen valgfrihed?

Doh!

Ser lige at ækvivalensen i #14, 8 (1) skulle have været

||x||=0 <=> x=0

men det havde du vist regnet ud.

Det kan man kalde et hurtigt svar :) Hehe! Så længe der næsten er tale om simple transpositioner går det nu nok ;)

5) Jeg tror, konstruktionen af delfølgen er ok. Men jeg har dog lidt svært ved at se, hvorfor de to udtryk (det med epsilon og det med k) er ækvivalente.

8) Fint :)

I forbindelse med spg. 11: Hvis psi er fortætningspunktet og a =< a_n =< b for alle n >= 1, hvordan vides så, at psi ligger i intervallet [a,b]?
Det at psi er fortætningspunkt betyder godt nok, at
for alle e>0 eksisterer N>=1, så a_N forskellig fra psi og a_N ligger i (psi - e, psi + e), ikke sandt?


Ang. dit spg. om mat-studiet på AAU så er valgfriheden faktisk minimal (ikke tilstede næsten). Hvert semester har vi 2 studieenhedskurser, som afsluttes med mundtlig eksamen. Derudover har vi 1 projektenhedskursus, som bestås gennem den mundtlige prøve i projektet. Udover det er der 1 fri studieaktivitet, som udbydes pr. semester. På 3. semester var det 5 kursusgange i EDB. Det plejer ikke at være ret meget værd.
Så indtil videre er der ingen valgfrihed. På et tidspunkt skal jeg så til at vælge specialisering, men der er lidt tid endnu ;)

#17: Jeps, men tak :)

#18

5) Jeg forstår ikke helt. Du er med på hvordan følger konstrueres men ikke på ækvivalensen?

Jeg forstår det således at i bruger udtrykket med d som definitionen på et fortætningspunkt. Og så siger jeg, at hvis man om en følge ved at den har et fortætningspunkt a så kan man konstruere en konvergent delfølge med grænsepunkt a så udtrykket med k kommer frem.

Er det det du vil se mig gøre ?


11)

Vi ved at (skrig op hvis du ikke ved det):

Lemma 1: En følge (x_n) i et metrisk rum har punktet a som fortætningspunkt hviss der findes en konvergent delfølge af (x_n) med a som grænsepunkt.

Lemma 2: Enhver delfølge af en konvergent delfølge med grænsepunkt a er selv konvergent med grænsepunkt a.

Altså: en konvergent følge har sit grænsepunkt som eneste fortætningspunkt.

Så dit spørgsmål er i virkligheden: hvorfor ligger grænsepunktet psi i den aflsuttede mængde [a,b].

Det gør det fordi afslutningen cl(A) af en mængde A netop er mængden af kontaktpunkter for A, d.v.s. mængden af alle grænsepunkter for følger i A.

Hvis dit studie er så fastlagt, kan du så se hvornår du skal have f.eks. algebraisk topologi. Jeg synes det kunne være spændende at se hvordan AAU studiet er strikket sammen fagmæssigt-