Side 2 - Metriske rum og lign.

Mange tak! :)

5) Nej, jeg prøvede lige at sætte mig ned og læse mine noter grundigt igennem igen. Nu tror jeg, at jeg er helt med!

11) Tak - det hjalp gevaldigt!


12) Vi har et reelt eller komplekst tal k, så k=\bar{<u>}*(1/<u>), hvor u og v er vektorer i et indre produktrum.

Hvorfor er <u> et reelt tal?

Og hvorfor bliver |k|^2 = |<u>|^2 / <u>^2
Jeg kan godt følge, hvorledes tælleren fås, men ikke nævneren.

(Det er i forbindelse med beviset for Cauchy-Schwarz ulighed).

På 5. semester skal jeg have:
Statistisk inferens
Optimering
Aspekter af matematikkens historie
Glatte kurver og flader

På 6. semester skal jeg have:
Statistik
Rumlig statistik
Computeralgebra
Grafteori

Kan ikke lige gennemskue, om nogle af dem rummer algebraisk topologi.</u></u></u></u></u>

Husk at det indre produkt er lineært i det ene argument og konjugeret-lineært i det andet.

Så hvis V er et vektorrum over legemet L (R eller C) så er det indre produkt en afbildning <,>:VxV->L som er konjugationssymmetrisk. Det vil sige at får vilkårlige a,b i V er = \bar{}. Og det medfører at \in R eftersom = \bar{}.

NB: der er andre krav end det nævnte til et indre produkt, men de er ligegyldige for dit spørgsmål.

Ingen af dine fag de næste semestre involverer algebraisk topologi. Det var nu også mest fordi jeg synes det er ret spændende.

Glatte kurver og flader kan være ret interessant hvis i kommer godt rundt i glatte mangfoldigheder, differentialformer, vektorbundter og de Rahm cohomologi.

Computeralgebra er meget spændende-glæd dig til det.

Efter nogle minutters tænkning fandt jeg ud af, hvordan dit svar også besvarede mit spørgsmål om |k|^2 = |<u>|^2 / <u>^2.

Mange tak endnu engang! :) Jeg tror slet ikke, at du forstår, hvor meget jeg værdsætter din hjælp. Det er virkelig skønt!

Algebraisk topologi... Det lyder som en blanding af algebra og topologiske rum, hvilket er en rimelig vild sammenblandning. Hehe!

Tænk, jeg syntes faktisk, at glatte kurver og flader lød umådeligt kedeligt - og nok også lidt svært. Men jeg brød mig heller ikke så meget om det kursus, vi havde dette semester, omhandlende differentiation og integration. Og jeg forestiller mig nok, at det er lidt i samme boldgade.

Computeralgebra lyder faktisk spændende!</u></u>

Ja, algebraisk topologi går i bund og grund ud på at knytte algebraiske invarianter (grupper, ringe, moduler) til topologiske rum. Ideen er, at hvis to topologiske rum ikke har de samme invarianter, så er de ikke "ens" forstået på den måde, at de ikke er homeomorfe. Det kan i mange tilfælde være ret svært at afgøre uden algebraiske hjælpemidler.

En enndu "vildere" sammenblanding er algebraisk geometri, hvor man studerer løsningsmængder til systemer af (multivariable) polynomiumsligninger v.h.a. algebraiske metoder. Blot for at forstå det basale matematisk objekt i algebraisk geometri skal man være godt inde i kommutativ algebra og knippeteori (det sidste er ikke et forsøg på at være sjov: det engelske ord er sheaf theory).

Jeg vil medgive dig, at hvis i blot kigger på kurver og flader indlejret i R^3 (simpel differentialgeometri) uden at kigge på differentiable mangfoldigheder så kan det være ligemeget. Men differentialgeometri er faktisk et meget stort emneområde og er bestemt ikke bare kurvekrumning og torsion.

Det lyder godt nok vildt alt det, du nævner! Det skræmmer mig nok en anelse, men sådan er det jo. Før dette semester syntes jeg også, at det var skræmmende at kigge i de bøger, som vi har brugt til forelæsningerne. Men man vænner sig til det og lærer at forstå de mange "underlige" symboler :)

Så er den sidste eksamen (vel)overstået. Jeg tror, dumpeprocenten nåede op i nærheden af de 50%. Jeg fik et flot 11-tal, så nu skal de næste otte dage, indtil næste semester starter, bare nydes fuldt ud! :)

Du skal endnu en gang have mange tak for din indsats - det har simpelthen været fantastisk! Jeg tror, du er ved at blive min personlige helt :)

Tillykke!

Din indledende usikkerhed på egne evner, da vi først "mødtes" herinde, lader til at være helt ubegrundet.

Det var nok i nogen grad baseret på din erfaring med, at det tager lang tid at læse matematik. For det kan ikke læses om en almindelig tekst. Det skal forstås og det er en alvorlig sag som tager sin tid.

Der er flere fælder i læsningen, og en af dem er beviserne. Det er min erfaring, at man skal ikke læse dem med den holdning, at man gerne vil overbevises. Tværtimod. Lad være med at tro på noget, vær antiautoritær, og stil spørgsmål til alt der ikke forekommer dig indlysende. Jeg ser beviser som en opfordring til at tænke selv. Hver gang jeg læser ord som "derfor", "følger", "heraf" og lign. ser jeg det som forsøg på at få læseren til at tænke sig om og se det samme, som forfatteren har set. Kan man ikke det, så har man muligvis ikke forudsætningerne for at se det, men det kan også være det er noget sludder der står! Navnligt det sidste har jeg set i en del artikler og sågar lærebøger.

En anden fælde, som er lidt sværere at undgå er, at selv om man er på det rene med beviserne, står der sjældent noget om, hvorfor denne eller hin sætning eller definition er interessant. Det kan nogle gange være svært at forstå, hvordan nogen er kommet op med lige netop _den_ definition. Der hjælper det en del at læse matematikhistorie, og det er glædeligt at se, at i har det på skemaet. Det havde jeg ikke, og det kostede mig en del tid at grave sammenhængen frem selv.

Mange tak! :)

"Din indledende usikkerhed på egne evner, da vi først "mødtes" herinde, lader til at være helt ubegrundet."

:) Jeg synes bare, at det var så skræmmende og overvældende i starten (og det gør jeg også stadig). Indrømmet - jeg arbejder hårdt for at forstå stoffet. Jeg kan blive utrolig stædig og til tider irritabel, hvis der er noget, jeg ikke forstår. Og selvom forelæserne er flinke og har vænnet sig til, at jeg stiller spørgsmål efter forelæsningen, så kan jeg jo ikke spørge dem om hver detalje. Derfor har jeg også sat så megen pris på, at jeg vidste, at "jeg havde dig" :)


Tak for dine tips! Det er virkelig rart at modtage gode idéer og tips om faldgrupper. Jeg har været inde på nogle sider for at læse lidt om studieteknik, da jeg netop synes, at jeg bruger ufattelig lang tid på at læse.
Når jeg snakker med mine gruppemedlemmer, er jeg også den, der uden tvivl bruger mest tid på læsningen. Men man kan bare ikke bruge deres tips, da de ikke henvender sig direkte til matematik (og det er - som du påpeger - meget anderledes at læse end andre studier). Her går det ikke f.eks. at tage en lineal og skubbe den ned over siden, så man tvinges til at læse hurtigere (et ofte hørt tip).

Som du også skriver i forbindelse med beviser, gælder det virkelig om at være kritisk og stille spørgsmål til alt: Hvorfor gælder det her?

Vores vejleder har også sagt til os, at man skal passe på med, at hvis der er noget man ikke forstår, og man læser videre, så når man næste gang ikke forstår noget, har man en tendens til bare at sige, "at det var også, fordi jeg ikke forstod det sidste" - og så bliver det et stort sort hul.

Når du har været til mundtlige eksaminer i matematik, hvordan har du så forberedt dig? Jeg har gjort følgende ved mine eksaminer:

1) Læst pensum igennem
2) Skrevet dispositionerne til hvert spørgsmål
3) Øvet alle dispositioner igennem to gange - og så bruger jeg forberedelsen (hvis sådan en haves) til at øve spørgsmålet igennem en sidste gang

Men til to af mine tre eksaminer dette semester har jeg erfaret, at hvis karakteren skal højt op, så skal man kunne fremføre et lille bevis for en sætning, som eksaminatoren vælger. F.eks. skulle jeg til metriske rum bevise, at hvis f er kontinuert mellem to metriske rum og K en kompakt mængde i et metrisk rum, så er f(K) kompakt. Jeg fik dog en del hjælp, da jeg ikke kunne huske beviset. Men det har fået mig til at tænke over, om eksamenslæsningen skal tilrettelægges anderledes. Jeg læser jo pensum igennem i starten - og så beskæftiger jeg mig ellers kun med de beviser, jeg har tænkt mig at fremlægge (det tager dog også rigeligt med tid).

Hvad gjorde du egentlig i sin tid, når du læste matematik og stødte på noget, som du ikke forstod?

Ahhh. Så kan det være derfor, vi skal have matematikhistorie. Det har nemlig undret mig en hel del, hvad i al verden vi skulle bruge det til.

Jeg har faktisk også oplevet til den sidste eksamen, at min forelæser spurgte mig om en sætning i forbindelse med mit bispg. i vektorrum. Han gav det hint, at "det var en sætning, som ledte op til definitionen af en basis". Jeg kiggede efterfølgende bogen igennem og havde slet ikke opfanget, at den ledte op til definitionen af en basis. Det er faktisk meget sjældent, jeg tænker i de større sammenhænge, når jeg læser matematik. Jeg går altid ned i detajlen og prøver at forstå det enkelte skridt.

Phew! Sikke en lang post. Håber du kan holde rede i alle spørgsmålene.

Langt de fleste af de eksaminer jeg var til i sin tid var skriftlige eksaminer. Ved de skriftlige eksaminer udsættes man for opgaver man ikke har set før, og derfor er det oftest noget vanskeligere end de mundtlige. Jeg husker fag med dumpeprocenter over 80.

Men selvfølgelig har jeg også været til en del mundtlige eksaminer, dog husker jeg ikke på forhånd at have kendt spørgsmålene. Jeg vidste hvad der var opgivet, og det var så det.

Til de mundtlige forberedte jeg mig på den måde, at jeg forestillede mig hvad jeg ville stille op, hvis jeg trak et givet emne. Og dernæst forløb min forberedelse sådan:

1) Jeg lagde en slagplan for hvad jeg ville gennemgå til et givet emne og sørgede for at huske den (minder meget om dine 3 punkter).
2) Jeg forestillede mig hvad jeg kunne blive spurgt om, og hvad jeg ville stille op med det.
3) Jeg prøvede at stille mig selv så mange spørgsmål som muligt og fange mig selv på det forkerte ben.

Mht hvad jeg gjorde når jeg stødte på noget jeg ikke forstod: jeg tvang mig til at stoppe op og ikke gå videre før jeg forstod det. Det kan være en ret tung måde at gøre det på, men det giver pote i længden. Som du selv har erfaret kan det godt tage flere dage at læse et par sider, og derfor er det selvfølgelig en afvejning hvor meget tid man vil bruge på at stå stille. Indimellem kan det hjælpe at læse en lille smule videre frem og se om man får større indsigt og forståelse for tingene. Men som du påpeger skal man være varsom med det. Af andre kneb jeg benyttede mig af var alternativt lærebogsmateriale (lånt på campus-bibilioteket) samt at spørge forelæseren og medstuderende. Det kan også være af meget stor værdi at løse eventuelle opgaver i lærebogsmaterialet. De er netop lagt ind for at hjælpe fordøjelsen.

Alt i alt tror jeg du har en studieteknik der passer glimrende til dig. De uforudsete spørgsmål er i sagens natur lidt svære at bide skeer med under forberedelsen. Det eneste effektive våben man har er reelt at være godt hjemme i hele stoffet.

Med hensyn til sammenhængen i stoffet, så er det noget der kommer gradvist efterhånden som din viden øges. Der var oceaner af ting jeg ikke fattede sammenhængen i eller begrundelserne for dengang jeg læste.

"2) Jeg forestillede mig hvad jeg kunne blive spurgt om, og hvad jeg ville stille op med det."

Kunne du godt forestille dig det? Jeg mener, de kan jo finde på at spørge om alt simpelthen. Indtil videre har jeg dog erfaret, at hvis man klarer sig rigtig godt, så kan de godt lide at bruge spørgetiden på at se, om man kan bevise en sætning (uforberedt). Jeg har bare svært ved at finde ud af, hvordan jeg bedst kan forberede mig på den slags. Jeg kan jo næsten umuligt huske alle sætninger + beviser i pensum udenad.


"3) Jeg prøvede at stille mig selv så mange spørgsmål som muligt og fange mig selv på det forkerte ben."

Hehe! Det gør jeg også altid. Jeg kan slet ikke lade være.

"Mht hvad jeg gjorde når jeg stødte på noget jeg ikke forstod: jeg tvang mig til at stoppe op og ikke gå videre før jeg forstod det. Det kan være en ret tung måde at gøre det på, men det giver pote i længden."

Søgte du hjælp på et fora, søgte på internettet eller måske noget helt tredje? Internettet kan vel ikke være så god en kilde, da der typisk ikke står beviser.


"Med hensyn til sammenhængen i stoffet, så er det noget der kommer gradvist efterhånden som din viden øges. Der var oceaner af ting jeg ikke fattede sammenhængen i eller begrundelserne for dengang jeg læste."

Okay, så jeg må bare væbne mig med tålmodighed :)


Mange tak for din fortælling. Det er faktisk rigtig sjovt at læse, hvordan du har gjort.