Matematik

Følge med binomialkoefficient

15. februar 2007 af Sabrina (Slettet)

Hej alle.

Jeg har brug for lidt hjælp til at begrunde, hvorfor følgen

(n over i) * (k/n)^i * (1- k/n)^(n-i)

for i indeholdt i {0,1,...,n} er voksende for i =< k og aftagende for i >= k?

Forresten hvordan er det så muligt at kalde det en følge, når i er begrænset både opadtil og nedadtil? Typisk angiver vi en følge på formen {a_k}_{k\in N}.

Med (n over i) mener jeg binomialkoefficienten, som har n for oven og i for neden.

Håber der er een, som kan gennemskue den!

De bedste hilsner
Sabrina

Svar #1
15. februar 2007 af Sabrina (Slettet)

At følgen er voksende skal føre til følgende ulighed - og selvom jeg har prøvet, kan jeg simpelthen ikke se hvordan:

(n+1)(n over k) * (k/n)^k * (1- k/n)^(n-k) >= summen fra i=0 til n af (n over i) * (k/n)^i * (1- k/n)^(n-i)

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. februar 2007 af sigmund (Slettet)

Kan du ikke anvende induktion til at vise, at følgen er voksende for i <= k, og aftagende for i >= k? Jeg har ikke selv forsøgt, men burde det ikke være muligt?

Til dit andet spørgsmål vil jeg bare sætte et modspørgsmål: Hvorfor mener du ikke, at vi kan kalde det en følge, hvis det er begrænset både op- og nedadtil?

Svar #3
16. februar 2007 af Sabrina (Slettet)

Hej Sigmund

Mange tak for svaret!

Angående induktions-idéen, så har jeg svært ved at se, hvordan du vil gøre det? Skal jeg så lave basistrin for i = 1 og i = 2 (er vel nødt til at have to værdier, så jeg kan se, om den er voksende)?

Angående om det er en følge: Fordi, når vi skriver {a_k}_{k \in N}, indikerer det, at index løber over alle de naturlige tal (formelt er en følge vist defineret som en afbildning fra de naturlige tal). Men her løber i ikke over hele N, men kun over 0,...,n? Håber det forklarede lidt bedre, hvorfor jeg er i tvivl.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. februar 2007 af sigmund (Slettet)

Jeg ser ingen forhindring for at kalde det en følge, selv om i ikke løber fra 0 til \infty. Så ligger 'i' ikke i N, men i en delmængde I af N.

Når det kommer til induktions-idéen, så har jeg som sagt ikke prøvet at udføre den -- endnu. Jeg skal se, hvad jeg får ud af det, og vender så tilbage.

Svar #5
16. februar 2007 af Sabrina (Slettet)

Jeg må vel bare acceptere, at det også kan kaldes en følge :)

Mange tak, fordi du vil prøve at kigge på induktionsbeviset.

Derudover vil jeg høre, om du relativt nemt kan se, hvad der foregår her:

(n+1)(n over k) * (k/n)^k * (1- k/n)^(n-k) >= summen fra i=0 til n af (n over i) * (k/n)^i * (1- k/n)^(n-i)

Mine ark siger, at det følger af, at man finder ud af, hvornår følgen er hhv. voksende og aftagende.

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. februar 2007 af sheaf (Slettet)

Sabrina, kig i dine beskeder.

Svar #7
17. februar 2007 af Sabrina (Slettet)

Hej Sigmund

Jeg har fået svar på spørgsmålene, men tak for dit forsøg på at hjælpe! :)

Mht. induktionsbeviset, så viste en ven mig, at det kan vises ved at dividere to på hinanden følgende led og betragte forholdet.

Skriv et svar til: Følge med binomialkoefficient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.