Gauss's Kvadratiske Reciprokke Lov

prøv at reducere det, så får du -1/2*(q-1)*q/p

V.h.
Erik Morsing

#1
Nej.

#0
Spørgsmålet om hvorvidt ligningen den Diophantiske ligning x²-qy² = p har løsninger - d.v.s. om ligningen har heltallige løsninger - kan afgøres ved hjælp af den kvadratiske reciprocitetssætning (KR).

Hvis en Diophantiske ligning har løsninger, så har samme ligning betragtet som kongruens modulo et vilkårligt n også løsninger. Man kan derfor afgøre om en Diophantisk ligning har løsninger ved at reducere den modulo n og vise, at den reducerede ligning ikke har løsninger.

Anvendt på ligningen x²-qy² = p kan vi f.eks. vælge at reducere den mod p eller mod q, hvor p og q er ulige primtal.

Vælger man n=p i ligningen x²-qy² = p viser det sig, at en nødvendig betingelse for at den har løsninger er at q er et kvadrattal mod p. Tilsvarende resulterer valger n=q i, at en nødvendig betingelse for at ligningen kan have løsninger er at p er et kvadrattal mod q.

Derfor er det interessant at betragte ligningerne:

x² == p (mod q) [ p er et kvadrattal mod q; (p/q) = 1] (*)

x² == q (mod p) [ q er et kvadrattal mod p; (q/p) = 1] (**)

KR relaterer eksistensen af løsninger til den ene med eksistensen af løsninger til den anden.

Udtrykket for (KR) i #0 er en anden måde at sige, at

(p/q) = (q/p) hviss p == 1 (mod 4) eller q == 1 (mod 4)

(p/q) = -(q/p) hviss p == q == 3 (mod 4)

Som et eksempel på anvendelse så vi, at en nødvendig betingelse for heltallige løsninger til ligningen x²-qy² = p er at (p,q) = 1 = (q/p). Derfor slutter vi af KR, at ligningen ikke har heltallige løsninger hvis p == q == 3 (mod 4).

En anden anvendelse af KR er, at den kan bruges til at omdanne et problem til et andet (forhåbentligt) simplere. Tag de to følgende omvendte problemstillinger

a) Er (n,p) = 1 for fastholdt n ?

b) For hvilke ulige primtal er (n,p)=1 for fastholdt n ?

Som vi så ovenfor er (b) det problem der almindeligvis dukker op ved studiet af Diophantiske ligninger. Men det er ikke helt simpelt; vi skal i princippet gennemsøge alle ulige primtal p. Men ved hjælp af KR kan det overføres i et problem af type (a).

Som eksempel på det, tag spørgsmålet af type b): for hvilke ulige primtal p er 5 er kvadrattal mod p ? Eftersom 5 == 1 (mod 4) slutter vi af KR, at (5/p) = (p/5), som fører os over i type a): er p et kvadrattal mod 5 ?. Men ethvert kvadrattal re konkruent mod 5 med +/- 1. Derfor er svaret på det oprindelige spørgsmål, at 5 er et kvadrattal mod 5 hviss p == +/-1 mod 5.

#2 hm.. det ser jeg lige nærmere på.. tak for hjælpen

så vidt jeg har læst opgaven, bliver p/q = -1 for alle p,q.

Ellers læser jeg den forkert.

V.h.
Erik Morsing.

(p/q) er et Legendresymbol, ikke en brøk.

Det er rigtigt, p/q er en brøk, mens (p/q) ikke nødvendigvis er et legendre symbol men kan være det:
Jeg havde ikke lagt mærke til at det stod i parantes.

V.h.
Erik Morsing

P.S. Du kan læse det hele her Julia:


http://mathworld.wolfram.com/LegendreSymbol.html

(p/q) er altid et Legendresymbol når det optræder i KR formuleret som i #0.

Der står (p/q) i min bog..

Her er et eksempel
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_%28number_theory%29
men hvad kan man konkludere ud fra det?

Og hvordan beviser man at f(s) = SUM(n=1 til uendelig) (1/n^s).

Jeg ved at det giver l-l(P) 1/(1-p^(-s)), hvor n >1..