Hvorfor differentierer man en funktion?

Fx at finde grafens tangents hældningskoefficient i et givent punkt.
Dette kan fx være nyttigt, hvis man har en funktion med stedet af 1.aksen og tiden af 2.aksen. Differentieres denne funktion fås hastigheden som funktion af stedet.
Men differentiation bruges langt flere steder. Fx i differentialligninger.

kan du ikke skrive det, så det er lidt mere forståligt?

Der er som sagt rigtig mange anvendelsesmuligheder, du skal være velkommen til at skrive til mig, hvis du har brug for nogle mere specifikke beskrivelser.

Differentialregning er faktisk en smart disciplin indenfor matematikken, hvor man kan udregne "hældningen i et punkt" på grafen for en funktion. Ser man f.eks. på grafen for funktionen f(x) = x^2 (det betyder x i anden), kan man se, at den stiger vildere og vildere, jo længere til højre for (0,0) man kommer. Præcis hvor "vildt" den stiger, kan man beregne vha. differentialregning.


Teknikken, der anvendes, når man skal differentiere, bygger egentlig på formlen for at finde tallet a i linjens ligning y = ax + b. Denne formel kræver, at man kender to punkter på en linje - så ligger dens hældning, a, nemlig fast.

Hvis man har to punkter på grafen for f(x) = x^2, kan man tegne en linje gennem dem. Jo tættere på hinanden disse to punkter ligger, desto mere kommer linjen gennem dem til at minde om en tangent til grafen.

Mens man lader disse to punkter nærme sig hinanden, kan man løbende udregne sekantens hældning, da man kender to punkter på linjen og derfor kan bruge formlen for a. Det eneste, man ikke kan, er at beregne a, når de to punkter har nået hinanden. Det giver nemlig altid 0/0 altså nul delt med nul.

Derfor omskriver man formlen for sekantens hældning på en smart måde - man skal være smart hver gang nogen kommer med en ny funktion, der skal differentieres - så man får en ny formel, der er lig den gamle på nær én ting... Den bliver ikke til 0/0 når de to punkter mødes!

Da den nye formel er lig med den gamle på alle andre tidspunkter end når punkterne mødes, viser det sig, at den nye formel decideret kan fortælle os "hældningen" i punktet - hvilket ikke er en rigtig hældning, men den retning grafen netop i det punkt bevæger sig i...