Matematik
afstand i et koordinatsystem
08. november 2007 af
Potus (Slettet)
Vis at de stykker AB og CD, der afskæres af en ret linie mellem koordinatakserne og grafen for funktionen f(x)=1/x er lige lange, altså |AB|=|CD|, se figuren
figur --> http://peecee.dk/?id=77372
Forstår virkelig ikke hvordan man skal kunne finde ud af det. Man kan jo self. måle, men det er der ikke meget matematik i =/
figur --> http://peecee.dk/?id=77372
Forstår virkelig ikke hvordan man skal kunne finde ud af det. Man kan jo self. måle, men det er der ikke meget matematik i =/
Svar #1
08. november 2007 af Dominik Hasek (Slettet)
#0:
En (meget uelegant) måde at vise det på via ret plangeometri, er ved at projicere B = (b_1,b_2) ind på y-aksen (kald punktet (0,b_2) for B') og C = (c_1,c_2) ned på x-aksen (kald punktet (c_1,0) for C').
Så er de to trekanter AB'B og CC'D ensvinklede, eftersom hældningen på linjestykket AB er lig med hældningen på linjestykket CD. Da B og C er punkter på grafen for f, er b_1 = 1/b_2 og c_1 = 1/c_2, så linjens hældning er givet ved følgende to udtryk
(a_2-b_2)/(0-b_1) = -(a_2-b_2)/b_1
(c_2-0)/(c_1-d_1) = -c_2/(d_1-c_1)
hvor A = (a_1,a_2) og D = (d_1,d_2). Altså er
(a_2-b_2)/b_1 = c_2/(d_1-c_1) =>
(a_2-b_2)(d_1-c_1) = b_1c_2 = (b_1-0)(c_1-0) =>
|B'A| |C'D| = |B'B| |C'C|
Trekanterne AB'B og CC'D er som sagt ensvinklede, så ovenstående ligning kan kun være opfyldt, såfremt
|B'A| = |C'C|
|C'D| = |B'B|
hvoraf det trivielt følger, at
|AB| = |CD|
PS. Det kan garanteret gøres meget simplere, men ovenstående var hvad min hjerne kunne producere på denne tid af døgnet.
En (meget uelegant) måde at vise det på via ret plangeometri, er ved at projicere B = (b_1,b_2) ind på y-aksen (kald punktet (0,b_2) for B') og C = (c_1,c_2) ned på x-aksen (kald punktet (c_1,0) for C').
Så er de to trekanter AB'B og CC'D ensvinklede, eftersom hældningen på linjestykket AB er lig med hældningen på linjestykket CD. Da B og C er punkter på grafen for f, er b_1 = 1/b_2 og c_1 = 1/c_2, så linjens hældning er givet ved følgende to udtryk
(a_2-b_2)/(0-b_1) = -(a_2-b_2)/b_1
(c_2-0)/(c_1-d_1) = -c_2/(d_1-c_1)
hvor A = (a_1,a_2) og D = (d_1,d_2). Altså er
(a_2-b_2)/b_1 = c_2/(d_1-c_1) =>
(a_2-b_2)(d_1-c_1) = b_1c_2 = (b_1-0)(c_1-0) =>
|B'A| |C'D| = |B'B| |C'C|
Trekanterne AB'B og CC'D er som sagt ensvinklede, så ovenstående ligning kan kun være opfyldt, såfremt
|B'A| = |C'C|
|C'D| = |B'B|
hvoraf det trivielt følger, at
|AB| = |CD|
PS. Det kan garanteret gøres meget simplere, men ovenstående var hvad min hjerne kunne producere på denne tid af døgnet.
Skriv et svar til: afstand i et koordinatsystem
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.