Newton Raphsons metoden

Man skal løse ligningen f(x) = 0, hvor f(x) er en kontinuert differentiabel funktion. Der forudsætte at man har et punkt xi, som er tilstrækkelig nær den rigtig løsning. Man kan så formulere opgaven som at man skal finde hi således at f(xi+hi) = 0. I stedet for at løse den eksakt erstatter man funktione med den lineære funktion, der er tangent punktet xi altså f(xi+hi) ca.= f(xi) + f'(xi)*hi = 0, hvilket har løsningen hi = -f(xi)/f(xi). Dette svarer til at man får løsningen
x(i+1) = xi + hi. Da man har lavet den lineære approksimation er dette normalt ikke den rigtige løsning; men under de givne betingelser er man kommet nærmere den rigtige løsning. Ved at gentage proceduren med x(i+1) som udgangspunkt kan man finde en værdi x(i+2) som er endnu nærmere den rigige løsning. Dette fortsættes så til man er kommet tilstrækkeligt nær den rigtige løsning. Ved tilstrækkelig nær vil mam forstå at |hn| er mindre end den tilladte afvigelse. Metoden er i de fleste tilfælde særdeles efektiv.
Der findes også en mere geometrisk forklaring; men den er det svært at give her på portalen.

Jeg har forsøgt at illustrere Newton-Raphsons metode grafisk på http://peecee.dk/?id=80328 .
Vi starter i det grønne punkt, hvis x-koordinat er vores første gæt på en løsning til f(x)=0. Vi finder så tangenten i dette punkt. Der hvor denne tangent skærer x-aksen, er vores nye gæt på en løsning. Vi finder så en ny tangent, nu i det punkt på grafen, hvis x-værdi vi lige har fundet. Denne tangent skærer selvfølgelig også x-aksen et sted. Dette sted er vores nye gæt på en løsning, og proceduren gentages, indtil vi når en løsning. Vi har nået en løsning når vi synes, at forskellen mellem to efterfølgende x-værdier er tilstrækkelig lille, som forklaret i indlæg #1. I eksemplet på tegningen når vi en løsning efter tre iterationer. Hvis vi var startet lidt tættere på x=4, kunne vi sandsynligvis nøjes med to iterationer.

Lad os så opstille den formel, der altid knyttes til Newton-Raphsons metode. Vores første gæt på en løsning er x=x0. Tangenten i punktet (x0,f(x0)) er givet ved ligningen y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0). Som forklaret ovenfor, så er vores næste bud på en løsning skæringspunktet mellem tangenten og x-aksen. Dette findes ved at sætte y=0 i tangentens ligning og isolere x:

0 = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) = f(x0) + f'(x0)*x - f'(x0)*x0 <=> x = x0 - f(x0)/f'(x0).
Lad os kalde denne x-værdi for x1, som er vores nye bud på en løsning.

På samme måde findes, ud fra x1, et bud på en løsning, x2. Således finder vi Newton-Raphson iterationsformlen for løsning af en ligning f(x) = 0:

x(n+1) = x(n) - f[x(n)]/f'[x(n)].

Forhåbentlig hjalp dette lidt på forståelsen af Newton-Raphsons metode. Ellers må du, #0, bare spørge.

Mange tak, det hjalp en del #1 og #2. Det er bare det når man for stukket noget i hånden uden forklaring om, hvad det handler om.