Trekantsuligheden i R

Er det fordi den maksimale værdi af -r+(-s) er |r+s| eller hvordan skal det argumenteres?

max{r+s}=max{-(r+s)} = |r+s|

Kan du ikke forklare beviset nærmere? Fx. giver |r|=-r>0>r ikke så megen mening for mig.

Et andet, og efter min mening sjovere, bevis for trekantsuligheden følger. Først beviser vi Cauchy-Schwartz uligheden.

Lad det indre produkt (x,y) være givet ved

(x,y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i

og lad den tilhørende norm være givet ved

||x|| = \sqrt{(x,x)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.

Lad x, y € R^n være arbitrært valgte, men faste, vektorer. For alle tal t € R gælder nu

0 <= (x+ty,x+ty) = (y,y)t² + 2(x,y)t + (x,x) = ||y||²t² + 2(x,y)t + ||x||².

For y forskellig fra 0 beskriver dette et andengradspolynomium i t. Dette polynomium har højst ét (reelt) nulpunkt. For diskriminanten af dette polynomium må derfor gælde

4(x,y)² - 4||y||²||x||² <= 0,

hvoraf Cauchy-Schwarz' ulighed,

|(x,y)| <= ||x||*||y||,

følger.

Følgende lille beregning giver os så trekantsuligheden:

||x+y||² = (x+y,x+y) = (x,x) + (y,y) + 2(x,y) <= ||x||² + ||y||² + 2*||x||*||y|| = (||x||+||y||)²,

hvoraf trekantsuligheden følger ved at tage kvadratrod. Her brugte vi Cauchy-Schwarz' ulighed til at få ulighedstegnet ind.

Ovenstående beregninger gælder generelt i R^n.

#0+#1

Ja, det skyldes at |r+s|=max{r+s,-(r+s)}. Altså to tilfælde, nemlig |r+s|=r+s eller |r+s|=-(r+s). Og begge tilfælde er jo dækket i nogle af de sidste linjer du skrev i #0:

tilfælde 1: r+s <= |r|+|s| (som du skrev)
tilfælde 2: -(r+s)=-r+(-s)<= |r|+|s| (som du skrev)

#2
NEEEEEEEJ! Der gælder ikke max{r+s}=max{-(r+s)}. AAAAAAAAAARRRRRRGGGGHH! Max taget på en étpunktsmængde giver blot det ene element mængden indeholder, så dette svarer til at skrive:

r+s=-(r+s)

hvilket kun er sandt, hvis r+s=0

#3
Giver |r|=-r>0>r ikke lidt mening for dig, hvis jeg nu henleder din opmærksomhed på, at det er under antagelse af, at r<0...?

Dit bevis for trekantsuligheden i R^n er smukt! Men der er mange smarte tricks og omskrivninger man skal være sikker på gælder undervejs, så det er ikke den mest oplagte metode til at bevise det blot for R. Men jeg kender det godt - har man først set noget bevist mere generelt er det svært at stille sig tilfreds med et specialtilfælde.