Matematik

Rumfang

19. januar 2008 af Forsker (Slettet)

Det indre af en dyb skål har form som det omdrejningslegeme der fremkommer når funktionen
f(x)=kvadratrod(x) x=0 eller større end 0.
roteres 360 grader omkring førsteaksen. Skålen fyldes op med væske, der tilføres med en konstant hastighed c pr. tidsenhed.

a) Bestem væskens rumfang, som funktion af dybden h.

b) Opstil en differentialligning til beskrivelse af rumfanget V af væsken i skålen som funktion af tiden t.

c) Bestem et udtryk for V(t), når det oplyses, at skålen er tom til tiden t = 0

d)bestem et udtryk for dybden af væsken h som funktion af tiden t.

(Vil lige sige at jeg helst gerne vil have forklaringer til resultaterne, netop fordi jeg vil forstå det jeg/i gør)

Brugbart svar (2)

Svar #1
19. januar 2008 af peter lind

a) Brug formlen for rumfanget af et omdrejningslegeme.

b) Her skal du bruge "Skålen fyldes op med væske, der tilføres med en konstant hastighed c pr. tidsenhed." Med konstant hastighed må menes mængden af vand, der tilføres pr tidsenhed.

c) Løs differentialligningen fra b.

d) Sæt løsningen fra c sammen med beregningen i a.

Svar #2
19. januar 2008 af Forsker (Slettet)

Okay.. jeg tænkte det nok, med a.. Men for lige at være sikker, er "højden" så ikk "x" i funktionen.. For det var det der forvirret mig lidt.

Brugbart svar (2)

Svar #3
19. januar 2008 af peter lind

Du har ret i at højden h skal være den øvre grænse for x.

Svar #4
19. januar 2008 af Forsker (Slettet)

jamen det jo ikke en sammensat funktion, så jeg behøver ikke at integrere og derefter finde nye grænser vel?

Svar #5
19. januar 2008 af Forsker (Slettet)

Har lige et spørgsmål til b'eren.. hvordan opstiller jeg sådan en differentialligning.. altså jeg tænker på at differentiere f(x).. men der står jo også noget med "som funktion af tiden".

Brugbart svar (1)

Svar #6
20. januar 2008 af peter lind

#4
Du skal integrere; men det er lige ud af landevejen uden at skulle bruge substitution eller lignende.
#5
Hastigheden er dV/dt og denne er ifølge opgaven c.

Svar #7
20. januar 2008 af Forsker (Slettet)

Okay.. men undskyld, ved stadig ikk hvad jeg skal gøre i b'eren..

Brugbart svar (3)

Svar #8
20. januar 2008 af peter lind

dV/dt=c og V(0)=0 -> V(t) =c*t

Brugbart svar (17)

Svar #9
29. oktober 2008 af 1337EMIL (Slettet)

a) Rumfang = pi * integralet fra 0 til dybden h, af funktionen f(x)^2, hvilket gerne skulle være det samme som (h^2*pi)/2 med lidt hjælp fra en lommeregner :) Dermed er væskens rumfang bestemt ud fra dybden h.

b) Da væsken bliver tilført med en konstant hastighed, må rumfanget altså have en lineær vækst, med c som hældning. Dvs. Rumfanget som funktion af t må være konstanten c ganget med tiden:

V(t) (rumfang som funktion af tid) = c * t

Da differentialkvotienten til en lineær funktion er lig med hældningstallet, må rumfanget opskrevet som differentialligning se således ud:

V'(t) = c (Ja, det er en differentialligning.)

c) Den lineære funktion skal skære i punktet (0,0), da rumfanget er 0 i tiden t = 0. Dvs:

V(t) = c * t +k, hvor k er 0. Funktionen kan altså bare skrives som: V(t) = c * t.

d) Du har både rumfanget som funktion af dybden, og som funktion af tiden:

V = c * t og V = (h^2*pi)/2. Altså må c * t være lig (h^2*pi)/2.

Hvis du flytter lidt rundt på tingene (dvs isolerer h) får du at:

h = sqrt((2 * c * t) / pi)

(sqrt vil sige kvadratroden til det i parantesen.)

- Færdig!

Brugbart svar (1)

Svar #10
10. oktober 2010 af Gaulin (Slettet)

tusind tak til alle svarene!!!

Skriv et svar til: Rumfang

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.