Matematik

Bevis for cosinusrelationer

05. juni 2008 af ditt (Slettet)

Hej
Jeg går i 1. g og skal til årsprøve i matematik B-niveau på onsdag, så er i fuld gang med at forberede mig, men har et problem.

i et af prøvespørgsmålene skal jeg definere cosinus og sinus. (er med på at det gøres i enhedscirklen, men skal man bare sige det eller ville i tegne den hvis det var jer og ville i uddybe det yderligere og med hvad?)

i anden halvdel af spørgsmålet skal jeg bevise cosinusrelationerne. Bevisførelsen står i min bog, men der er noget jeg ikke helt forstår.

Der er tegnet en trekant, hvor også højden (A til grundlinien) er tegnet ind. Dennes fodpunkt kaldes D. Stykket B-D kaldes a-x og stykket D-C kaldes x.
I bogen bruger de Pythagoras på trekant ABD, der kommer således til at stå (a-x)^2+h=c^2

og nu kommer mit problem så: efterfølgende står der, at da h ikke indgår i relationerne, skal den fjernes. Det er jeg med på og ved også godt at det gøres ved at trække den fra - men skal den så ikke trækkes fra på begge sider? det gør de nemlig ikke i bogen, for så skulle der vel stå (a-x)^2=c^2-h? Eller er det mig der er helt galt på den?

vi har gennemgået og har også taget noter, men mine noter svarer ikke til det, der står i bogen og jeg forstår heller ikke rigig mine noter..

Svar #1
05. juni 2008 af ditt (Slettet)

Skal også definere tangens, er det tan=sin(v)/cos(v) (cosinus kan selvfølig ikke være 0). men ville i sige mere til det?

vil virkelig sætte pris på hjælp..

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. juni 2008 af mathon

cos-relationen:

trekant ABC lægges ind i koordinatsystemet

med
1) A i (0,0)

2) B(b1,b2) liggende på x-aksen med b1>0

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1<b1

4) fodpunktet for højden fra C på c kaldes D

dermed er vinkel B spids

ved figurbetragtning ses:

c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|DB| = c-b*cos(A)

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |DB|^2

*) a^2 = (b*sin(A))^2 + (c-b*cos(A))^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + c^2 + b^2*(cos(A))^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

beviset når vinkel B er stump - så højden "falder" uden for trekanten:

ÆNDRINGEN i koordinatsystemet bliver:

3) C(c1,c2) liggende i 1. kvadrant med c1>b1

og
c1 = b*cos(A) og c2 = b*sin(A) = h
|BD| = b*cos(A)-c

ved anvendelse af den pythagoræiske læresætning på trekant BCD
fås:
a^2 = h^2 + |BD|^2

**) a^2 = (b*sin(A))^2 + (b*cos(A)-c)^2

a^2=b^2*(sin(A))^2 + b^2*(cos(A))^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2((cos(A))^2 + (sin(A))^2) + c^2 - 2bc*cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

eneste forskel på *) og **) er

i
*) c-b*cos(A)
og
**) b*cos(A)-c
men
da
(c-b*cos(A))^2 = (b*cos(A)-c)^2...(udtrykket er symmetrisk)

bliver slut-formlen, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A), den samme.

Bogstaverne kan rokeres, hvorved de to analoge
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)
og
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
fremkommer

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. juni 2008 af mathon

cos-relationen benyttes bl.a. til "pålidelig" vinkelberegning, når "sinusfælden" skal undgås:

A = cos^-1[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]

B = cos^-1[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]

C = cos^-1[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]

Svar #4
05. juni 2008 af ditt (Slettet)

Okay.. Tak for hjælpen :) men jeg kan stadig ikke se, hvor h^2 bliver af..

Brugbart svar (1)

Svar #5
05. juni 2008 af peberdelfinen (Slettet)

Prøv http://home3.inet.tele.dk/pmh/1g/doitself.htm og se om det hjælper

Svar #6
05. juni 2008 af ditt (Slettet)

Det hjalp.. :) Tusind tak

Skriv et svar til: Bevis for cosinusrelationer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.