Bevis for seperation af de variable

Der er dele af teksten jeg ikke kan læse, så det er muligt, der er noget jeg har misforstået.

1) Det angiver simpelthen en arbejsmetode til at finde en løsning til differential ligningen dy/dx=h(x)*g(y). Den er som følger:

a. Find stamfunktionerne H til h(x) og G til 1/g(x)
b. Løs ligningen G(y)=H(x) med hensyn til y. D.v.s find y som en funktion af x.

2) Det understreger at y er en funktion af x. Når du finder G bruger du faktisk y som en selvstændig variabel.

3) Du skal finde stamfunktionen til 1/g(x) og det er simpelthen praktisk at kalde den et eller andet og dette et eller andet er blevet G(y)

Det er almindelig at man kalder en stamfunktion af en funktion u(x) for
U(x), hvor u og U kan være f,F, g,G h,H og så videre; men det betyder ikke at man altid gør det, og det gør man altså ikke her.

Mange tak for forklaringerne. Synes dette bevis er det mest mystiske jeg har set nogensinde :)

Det manglende er vist brøkerne.

Jeg har lige et sidste spørgsmål i forlængelse af spm 1.

Sætningen siger:
[betingelser]
y=f(x) er en løsning til dy/dx=g(y)h(x) <=>
y=f(x) er en løsning til int 1/g(y) dy = int h(x) dx

Hvorfor går man al det besvær igennem med beviset? Det er jo sådan set bare en omskrivning eftersom
dy/dx=g(y)h(x) <=>
1/g(y) dy = h(x) dx
og så integreres der så begge sider:
int 1/g(y) dy = int h(x) dx

Hvorfor er det utilstrækkeligt/forkert?

Den omskrivning du foreslår er en vanvittig god måde at huske formler på; men det er ikke noget bevis. Der er ingen matematiske regler, der siger, at man sådan uden videre kan gange og dividere med dy og dx. dy/dx er en regneoperation ikke en kvotient og kan ikke behandles som en sådan. Hvis du skrev dy/dx som y' vil du absolut ikke kunne se nogle muligheder for at gange eller dividere med noget som helst. At det som regel går godt skyldes blot at det er en særdeles praktisk måde at angive den afledede på.

Tak, det var netop svaret jeg ledte efter :)

Jeg har fundet beviset i en anden bog. Der står:
"G(y) = int 1/g(y) dy
Så er G'(y) = 1/g(y), og dermed er (G(f(x))' = 1/g(f(x))*f'(x)."

Det forstår jeg ikke. G'(y) = (G(f(x))', så 1/g(y) bør være 1/g(f(x))*f'(x), hvilket det tydeligvis ikke er, da
1/g(y) = 1/g(f(x))*f'(x) <=>
1 = f'(x)

Hvad misforstår jeg her?

Du blander forskellige ting sammen. Der er forskel på om du differentiere G(y) med hensyn til y eller med hensyn til x I sidste tilfælde skal der bruges regelen om differentiation af sammensat funktion. d/dx(G(y)) =
[dG(y)/dy]*(dy/dx)=1/g(y)*(dy/dx)=1/(g(y)*f'(x).
Her bruger jeg iøvrigt også gange og dividere med dy som en huskeregel.

Mange tak, nu forstår jeg beviset fuldt up :) De giver meget mere mening nu :p