eskponentiel vækst og logaritmer

En eksponentiel funktion har formen y=b*a^x. Givet to punkter (x_1,y_1) og (x_2,y_2) på grafen for denne funktion, har du, at

y_1=ba^(x_1)

og

y_2=ba^ (x_2),

så ved division af disse to udtryk fåes

y_1/y_2 = a^(x_1-x_2), så ved at udrage den (x_1-x_2)'te rod på begge sider får du et udtryk for a.

Nu kan du finde b på samme måde som for den lineære funktion.

y = b*a^x

log(y) = log(b) + log(a^x) = log(a)*x + log(b)

log(y) = log(a)*x + log(b)

Y = Ax + B som har en retlinjet graf i en enkeltlogaritmisk afbildning

hvorfor
A = log(a) kan aflæses - er hældningskoefficient for linjen
og
a beregnes af
a = 10^A

og
B = log(b) kan aflæses i punktet (1,log(b))
og
b beregnes af
b = 10^B

Den eksponentielle funktion er y=a*e^kx. kender du punkterne  (x₁,y₁) og x₂,y₂) kan du sætte det ind i ligningen, hvilket giver

y₁=a*e^kx1

y₂=a*e^kx2

Ligningerne løses nemmest ved at dele de 2 ligninger med hinanden. Derved går a ud

der eksisterer ikke en (x_1-x_2)'te rod med mindre x_1-x_2 er positiv og hel
men
du kan

beregne a
ved at opløfte (y₁/y₂) i 1/(x₁-x₂)'te

a = (y₁/y₂)^{1/(x₁-x₂)}  = (y₂/y₁)^{1/(x₂-x₁)}